a) Ta có BE là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó BE song song với AC và có độ dài bằng một nửa độ dài AC. Tương tự, CF là đường trung tuyến của tam giác ABC, nên CF song song với AB và có độ dài bằng một nửa độ dài AB.
Khi đó, ta có hai đường thẳng BE và CF cắt nhau tại G, và G nằm ở trung điểm của hai đoạn thẳng AC và AB.
Vậy AG là đường trung trực của BC.

b) Ta có AG là đường trung trực của BC, nên AG vuông góc với BC tại M (trung điểm của BC).
Khi đó, ta có AH là đường thẳng vuông góc với AB và cắt AG tại I.
Vì AG là đường trung trực của BC, nên I cũng là trung điểm của BC.
Do đó, ta có AI là đường trung trực của BC.
Vậy tam giác ABI và tam giác ACI là hai tam giác cân cùng có đường trung trực AI.
Vì vậy, tam giác ABI = tam giác ACI.

c) Ta đã chứng minh trong bước b) rằng AI là đường trung trực của BC.
Vì vậy, AI vuông góc với BC tại M.
Do đó, IC vuông góc AC.

d) Góc ngoài của tam giác bao giờ cũng lớn hơn góc trong không kề với nó.
Vì vậy, góc ngoài của tam giác ABC lớn hơn góc trong BAC không kề với nó.

e) Trong tam giác cân, cạnh đáy là cạnh lớn nhất.
Vì tam giác ABC cân tại A, nên cạnh AB = AC.
Vậy cạnh đáy AB là cạnh lớn nhất.