Để giải bài tập này, ta cần phân tích hình học của tam giác \( ΔABC \) cùng với các tam giác vuông cân \( ΔABM \) và \( ΔACN \) đã cho.

**a)** Chứng minh rằng \( ΔAMC = ΔABN \):

- Trong tam giác \( ΔABC \), theo giả thiết, góc \( A \) nhỏ hơn \( 90^\circ \).
- Vì \( ΔABM \) và \( ΔACN \) là các tam giác vuông cân tại \( A \), nên:
- \( AB = AM \) và \( AC = AN \) (định nghĩa của tam giác vuông cân).
- Góc \( BAM = 45^\circ \) và góc \( CAN = 45^\circ \).

- Ta có thể nhận thấy rằng:
- Trong \( ΔAMC \), góc \( AMC = 90^\circ - A \).
- Trong \( ΔABN \), góc \( ABN = 90^\circ - A \).

- Đồng thời, ta có \( AM \) và \( AN \) cùng bằng \( AB \) và \( AC \) (do tính chất của các tam giác vuông cân).

- Do đó, theo hai góc và cạnh \( AM = AB \) và \( AN = AC \), ta có:
- \( ΔAMC \cong ΔABN \) (góc - góc - cạnh).

**b)** Chứng minh rằng \( BN⊥CM \):

- Ta sẽ bắt đầu với việc chứng minh rằng \( BM \) và \( CN \) cùng vuông góc với \( BC \).

- Trong tam giác vuông \( ΔABM \), ta có:
- \( BM ⊥ AB \) và \( BM = AM \) (vì là tam giác vuông cân).

- Trong tam giác vuông \( ΔACN \):
- \( CN ⊥ AC \) và \( CN = AN \) (tương tự).

- Khi đó:
- Ta có thể thấy rằng \( BN \) vuông góc với \( CM \), do đó dẫn đến sự đồng quy của các đường phân giác vuông góc.

- Kết luận, \( BN ⊥ CM \).

**c)** Chứng minh \( AH \) đi qua trung điểm của \( MN \):

- Đặt \( O \) là trung điểm của \( MN \).
- Ta sẽ chứng minh rằng \( AH \) đi qua \( O \).

- Ta có \( AM = AB \) và \( AN = AC \), tức là hai tam giác vuông này có chiều cao từ \( A \) đi đến các cạnh \( BC \) và điểm giữa \( MN \).

- Từ \( AH \) là đường vuông góc từ \( A \) xuống \( BC \), mà \( O \) nằm trên đường phân giác giữa hai cạnh của tam giác vuông cân này.

- Theo lý thuyết về tam giác cân, đường vuông góc từ đỉnh sẽ chia cạnh đáy thành hai phần bằng nhau.

- Kết luận, ta có \( AH \) đi qua trung điểm của \( MN \).

Chúc bạn thành công với bài học của mình!