Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông.

Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Áp dụng vào bài toán này, ta có:
AB² = AH² + BH²
AC² = AH² + CH²

Với AB = 7 cm và AC = 5 cm, ta có:
7² = AH² + BH²
5² = AH² + CH²

Từ đó, ta có hệ phương trình:
AH² + BH² = 49
AH² + CH² = 25

Do đường cao AH là đường cao của tam giác ABC, nên BH và CH lần lượt là đường vuông góc với AB và AC.

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao và cũng là cạnh huyền của tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC.

Vì vậy, ta có BH = CH = AH.

Thay BH = CH = AH vào hệ phương trình trên, ta có:
AH² + AH² = 49
2AH² = 49
AH² = 49/2
AH = √(49/2)

Vậy, AH = √(49/2) cm.

Để tính BC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHB:
AB² = AH² + BH²
7² = (√(49/2))² + BH²
49 = 49/2 + BH²
BH² = 49 - 49/2
BH² = 49/2

Vậy, BH = √(49/2) cm.

Tương tự, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHC:
AC² = AH² + CH²
5² = (√(49/2))² + CH²
25 = 49/2 + CH²
CH² = 25 - 49/2
CH² = 25/2

Vậy, CH = √(25/2) cm.

Do BH = CH = AH, nên BC = BH + CH + AH = √(49/2) + √(25/2) + √(49/2) = 2√(49/2) + √(25/2) cm.

Vậy, AH ≈ 4.95 cm và BC ≈ 2√(49/2) + √(25/2) cm.