Để chứng minh rằng góc \( AOP = 2 \cdot \angle ATB \), ta cần sử dụng một vài tính chất cơ bản trong hình học.

1. **Đặt các điểm:**
- Cho đường tròn \( (O) \) với đường kính \( AB \).
- Gọi \( P \) là điểm trên dây \( AB \).
- Gọi \( T \) là tiếp điểm của tiếp tuyến tại điểm \( B \).

2. **Xác định các góc:**
- **Góc \( AOP \)** là góc giữa đoạn thẳng \( AO \) và đoạn thẳng \( OP \).
- **Góc \( ATB \)** là góc giữa đoạn thẳng \( AT \) và đoạn thẳng \( BT \).

3. **Tính chất của đường kính và tiếp tuyến:**
- Trong một đường tròn, nếu một dây \( AB \) cắt một đường thẳng tại điểm \( T \) (là tiếp điểm của tiếp tuyến tại \( B \)), thì \( OT \perp BT \) vì \( OB \) là bán kính và \( BT \) là tiếp tuyến tại \( B \).
- Do đó, tam giác \( OBT \) là tam giác vuông tại \( T \).

4. **Góc và các bên:**
- Ta có thể đưa ra mối quan hệ giữa các góc. Theo định lý góc ngoài trong tam giác \( OBT \), ta có:
\[
\angle ATB = \angle OTB
\]

5. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( OBT \), do \( OT \perp BT \) nên:
\[
\angle OTB = \angle OAP
\]
- Hiện tại, ta thấy rằng \( \angle AOP = \angle OAP + \angle ATB \).

6. **Áp dụng định lý góc ở tâm:**
- Theo định lý, góc ở tâm của đường tròn gấp đôi góc dưới dây. Vậy ta có:
\[
\angle AOP = 2 \cdot \angle ATB
\]

Kết luận, ta có thể khẳng định rằng:
\[
\angle AOP = 2 \cdot \angle ATB
\]

Chứng minh đã hoàn tất.