Theo định nghĩa, đường cao AH của tam giác vuông ABC là đoạn thẳng nối từ đỉnh A đến đường thẳng BC sao cho vuông góc với BC.

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A, nên đường cao AH chính là đường cao từ đỉnh A xuống đường BC.

Theo định lý Pythagoras, trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh góc vuông.

Áp dụng vào tam giác ABC, ta có:

AB^2 = AH^2 + BH^2 (1)
AC^2 = AH^2 + CH^2 (2)

Với AB = 5 và AC = 4, ta có:

(5)^2 = AH^2 + BH^2 (3)
(4)^2 = AH^2 + CH^2 (4)

Từ (3) và (4), ta có hệ phương trình:

25 = AH^2 + BH^2
16 = AH^2 + CH^2

Trừ hai phương trình này với nhau, ta có:

25 - 16 = (AH^2 + BH^2) - (AH^2 + CH^2)
9 = BH^2 - CH^2

Vì BH và CH là hai cạnh của một hình chữ nhật, nên BH = CH.

Do đó, ta có:

9 = BH^2 - BH^2
9 = 0

Phương trình trên không có nghiệm.

Vậy không tồn tại giá trị của BH và CH thỏa mãn điều kiện đề bài.