Ta có tam giác ABC vuông tại A, do đó AH là đường cao của tam giác. Khi đó, ta có:
$\angle HAB = \angle HCB$ (do AB và HC là hai đường cao của tam giác ABC)
$\angle HAC = \angle HBC$ (do AC và HB là hai đường cao của tam giác ABC)

Do đó, hai tam giác AHF và AHE đồng dạng (cùng có hai góc vuông và góc giữa bằng nhau). Từ đó, ta có:
$\angle AHE = \angle AHF$
$\angle AEF = \angle AFH$

Vậy, ta có tứ giác AHEF nội tiếp trong đường tròn (1).

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn đường kính HB và HC.

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:
$\angle OHC = 90^\circ$ (do HC là đường cao của tam giác ABC)
$\angle OCB = 90^\circ$ (do BC là đường cao của tam giác ABC)

Do đó, O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn đường kính HC.

Tương tự, ta có O, H, B, C cùng thuộc một đường tròn đường kính HB.

Vậy, O là trung điểm của cung nhỏ BC trên đường tròn đường kính HB và cung nhỏ BC trên đường tròn đường kính HC.

Khi đó, ta có $\angle EOH = \angle FOH = 90^\circ$ (do O là trung điểm của BC)

Vậy, ta có tứ giác EOHF nội tiếp trong đường tròn (2).

Từ (1) và (2), ta suy ra EF là tiếp tuyến chung của các đường tròn đường kính HB và HC.