Cho tam giác ABC có đường cao BE, CF giao nhau tại trực tâm H

Ta có:
- Gọi M là trung điểm của BC.
- Do đường cao BE và CF cắt nhau tại H, nên ta có: AH = 2HM.
- Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: AO = R (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
- Gọi K là giao điểm của AO và EF.
- Ta có: AK/AO = sin AOK (1) (với AOK là góc tạo bởi hai tia AK và AO).
- Ta có: sin AOK = sin (90° - BAC) = cos BAC (vì AOK là góc phụ của góc BAC).
- Ta có: AO = R = R.cos BAC (vì AO là cạnh huyền của tam giác vuông AOC).
- Từ (1), ta có: AK/AO = cos BAC.
- Ta có: AJ/AI = AK/AO (vì J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF).
- Vậy, ta có: AJ/AI = cos BAC.