81. Để tính độ dài BD, ta có thể sử dụng hai thông tin đã cho.
Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có AB = CD = 10 cm. Vì vậy, chu vi hình bình hành là 2(AB + BC) = 2(10 + BC) = 10 cm.
Chu vi tam giác ABD là 9 cm. Ta biết rằng chu vi tam giác ABD bằng tổng độ dài các cạnh AB, BD và AD. Vì AB = 10 cm và BD cần tìm, ta có: AB + BD + AD = 9 cm. 
Vì ABCD là hình bình hành, nên cạnh đối diện AB và CD có cùng độ dài, và cạnh đối diện AD và BC cũng có cùng độ dài. Do đó, AD = BC.
Từ hai phương trình trên, ta có: 10 + BD + AD = 9, và AD = BC. Khi đó, ta có: 10 + BD + BC = 9. Từ đó suy ra BD = -1 cm. Tuy nhiên, độ dài không thể là số âm, vậy không có giá trị hợp lệ cho độ dài BD trong trường hợp này.
82. Để chứng minh rằng AE // CF trên hình 10, ta sử dụng các thông tin đã cho.
Theo đề bài, ABCD là hình bình hành. Ta biết rằng các đường chéo của hình bình hành chia nhau đối xứng và cắt nhau ở trung điểm. Vì vậy, ta có AM = CN và DM = FN.
Xét tam giác AME và tam giác CNF, ta có:
- AM = CN (trên)
- ME = FN (trên vì EM = MF và AM = CN)
- AE = CF (đường dọc giữa hai đường cheo)
Do đó, theo căn cứ AA (góc - góc), ta có AME // CNF, và vì vậy AE // CF.