Mệnh đề: Mọi số k lẻ thì (1^k + 2^k + ... + n^k) chia hết cho (1 + 2 + 3 + ... + n) với n thuộc N*.

Để chứng minh mệnh đề này, ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp.

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Khi n = 1, ta có (1^k) chia hết cho 1.
Vì vậy, mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = m, tức là (1^k + 2^k + ... + m^k) chia hết cho (1 + 2 + ... + m).

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n = m + 1, tức là (1^k + 2^k + ... + (m + 1)^k) chia hết cho (1 + 2 + ... + (m + 1)).

Ta có:
(1^k + 2^k + ... + (m + 1)^k) = (1^k + 2^k + ... + m^k) + (m + 1)^k

Vì mệnh đề đúng với n = m, nên (1^k + 2^k + ... + m^k) chia hết cho (1 + 2 + ... + m).
Đặt S = 1 + 2 + ... + m, ta có (1^k + 2^k + ... + m^k) = S * a (với a là một số nguyên).

Khi đó, (1^k + 2^k + ... + (m + 1)^k) = S * a + (m + 1)^k

Ta biết rằng (m + 1) chia hết cho S (vì S = 1 + 2 + ... + m), nên (m + 1)^k chia hết cho S^k.

Vậy, (1^k + 2^k + ... + (m + 1)^k) = S * a + (m + 1)^k chia hết cho S + S^k = (1 + 2 + ... + m) + S^k = (1 + 2 + ... + (m + 1)).

Vậy, mệnh đề đúng với n = m + 1.

Bước 4: Kết luận
Do mệnh đề đúng với n = 1 và mỗi lần chứng minh đúng với n = m + 1 khi đã giả sử đúng với n = m, nên mệnh đề đã được chứng minh đúng với mọi n thuộc N*.