Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Một đường tròn bất kì qua A và M cắt AC, AB lần lượt tại E, F

Ta có tam giác ABC nội tiếp (O), M là điểm chính giữa cung BAC của (O). Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng EF.

Vì tam giác ABC nội tiếp (O), nên góc BAC = góc BOC (góc nội tiếp chắn cung BC).

Mà M là điểm chính giữa cung BAC của (O), nên góc BAC = góc BMC.

Do đó, góc BOC = góc BMC.

Ta có đường tròn (AEM) và đường tròn (AFM) đồng quy tại điểm A (do cùng chứa cung AM).

Theo định lý Ptolemy, ta có: AE.MF + AF.ME = AM.EF.

Vì đường tròn (AEM) và đường tròn (AFM) đồng quy tại điểm A, nên AE.MF + AF.ME = AM.EF = 2AM.IE (do I là trung điểm của EF).

Mà M là điểm chính giữa cung BAC của (O), nên AM = BM = CM.

Vậy, AE.MF + AF.ME = 2AM.IE = 2BM.IE = 2CM.IE.

Mà góc BOC = góc BMC, nên tam giác BOC và tam giác BMC đồng dạng.

Do đó, ta có: CE/CM = IE/OC và BF/BM = IF/OB.

Vì tam giác BOC và tam giác BMC đồng dạng, nên OC/OB = CM/BM.

Kết hợp với CE/CM = IE/OC và BF/BM = IF/OB, ta có:

CE/CM = IE/OC = IF/OB = BF/BM.

Do đó, CE = BF.

Vậy, ta đã chứng minh được CE = BF.