Để chứng minh rằng biểu thức 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 chia hết cho 3731, ta sẽ sử dụng định lý cộng dồn.

Đầu tiên, ta thấy rằng biểu thức trên là một dãy số hình thành từ cộng dồn các số mũ của 2. Ta có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng tổng:

2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 = 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^119)

Tiếp theo, ta áp dụng công thức cộng dồn của dãy số hình thành từ cộng dồn các số mũ của 2:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^119 = (2^120 - 1)/(2 - 1) = 2^120 - 1

Vậy, biểu thức ban đầu có thể viết lại thành:

2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 = 2(2^120 - 1)

Để chứng minh rằng biểu thức trên chia hết cho 3731, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ:

Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Ứng dụng định lý Fermat nhỏ, ta có:

2^(3730) - 1 chia hết cho 3731

Vậy, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu thành:

2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 = 2(2^120 - 1) = 2(2^(3730) - 1)

Vì 3730 = 4 * 932 + 2, nên ta có:

2^(3730) - 1 = (2^4)^932 * 2^2 - 1 = (2^4)^932 * 4 - 1 = (2^4)^932 * (5 - 1) = 16^932 * 4

Vậy, biểu thức ban đầu có thể viết lại thành:

2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 = 2(2^(3730) - 1) = 2(16^932 * 4) = 2^2 * 4^932 * 4 = 2^2 * (4^933) = 2^2 * (2^2)^933 = 2^2 * 2^(2 * 933) = 2^(2 * 933 + 2)

Ta thấy rằng 2 * 933 + 2 = 1868 + 2 = 1870 = 5 * 374, vậy biểu thức trên chia hết cho 5.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^120 chia hết cho cả 3731 và 5.