Bài 8: Cho ΔABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Trên tia đối của tia NM lấy điểm I sao cho NI = NM.

a. Chứng minh ΔAMN đồng dạng ΔCIN.

b. Chứng minh ΔCIN đồng dạng ΔABC.

c. Chứng minh CL // AC và CN = AB/2.

Giải:

a. Chứng minh ΔAMN đồng dạng ΔCIN:

Xét ΔAMN và ΔCIN có:
NM = NI (gt)
∠ANM = ∠CNI (đối đỉnh)
AN = NC (N là trung điểm AC)
Vậy ΔAMN = ΔCIN (c.g.c)
=> ΔAMN đồng dạng ΔCIN (hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng)
b. Chứng minh ΔCIN đồng dạng ΔABC:

Vì ΔAMN = ΔCIN (cmt) => AM = CI và ∠MAN = ∠ICN
Mà M là trung điểm AB => AM = MB => CI = MB
Ta có ∠MAN = ∠ICN, mà ∠MAN và ∠BAC là một góc => ∠BAC = ∠ICN
Xét ΔCIN và ΔABC có:
∠ICN = ∠BAC (cmt)
CI/AB = (AM)/(2AM) = 1/2
CN/AC = (AC/2)/AC = 1/2
=> CI/AB = CN/AC = 1/2
Vậy ΔCIN đồng dạng ΔABC (c.g.c)
c. Chứng minh CL // AC và CN = AB/2.

Vì ΔCIN đồng dạng ΔABC (cmt) => ∠CIN = ∠ABC (hai góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị => CI // AB
Vì M là trung điểm AB => AM = MB = AB/2
Vì ΔAMN = ΔCIN => CI = AM
Vậy CI = AB/2
Vì N là trung điểm AC => CN = AC/2
Bài 9: Cho ΔABC có AM là đường trung tuyến. Hạ BH và CK lần lượt vuông góc với AM.

a. Chứng minh ΔMHB đồng dạng ΔMKC.

b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AM cắt AC tại I. Chứng minh ΔLKC đồng dạng ΔMAC.

Giải:

a. Chứng minh ΔMHB đồng dạng ΔMKC:

Xét ΔMHB và ΔMKC có:
∠MHB = ∠MKC = 90° (gt)
∠BMH = ∠CMK (đối đỉnh)
Vậy ΔMHB đồng dạng ΔMKC (g.g)
b. Chứng minh ΔLKC đồng dạng ΔMAC:

Vì MI ⊥ AM và BH ⊥ AM => BH // MI
Trong ΔAIC có BH // MI và M là trung điểm BC (AM là trung tuyến) => H là trung điểm AI
=> AH = HI
Xét ΔAHB và ΔMIH có:
AH = HI (cmt)
∠AHB = ∠MHI = 90°
∠BAH = ∠IMH (so le trong)
=> ΔAHB = ΔMIH (g.c.g)
=> AB = MI
Vì MI ⊥ AM và CK ⊥ AM => MI // CK
Xét ΔLKC và ΔMAC có:
∠LKC = ∠MAC = 90°
∠LCK = ∠MCA (góc chung)
Vậy ΔLKC đồng dạng ΔMAC (g.g)