Để chứng minh các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành.

1) Ta có AE = EF = FC (theo đề bài). Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AC là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có AO = OC. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có AO = OE = OF = OC. Vậy tứ giác BEDF là hình bình hành.

2) Ta có tứ giác BEDF là hình bình hành (theo câu 1). Vì tứ giác BEDF là hình bình hành, nên ta có DF song song với BE. Khi đó, ta có:

∠DFM = ∠BEM (cùng chắn cung BM trên đường tròn (BDC))
∠FDM = ∠BME (cùng chắn cung BM trên đường tròn (BDC))

Vì ∠DFM = ∠BEM và ∠FDM = ∠BME, nên hai tam giác DFM và BEM là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

DF/BE = FM/EM
DF = (FM/EM) * BE

Vì AE = EF = FC, nên ta có EM = AE = FC. Khi đó, ta có:

DF = (FM/FC) * BE

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BC song song với AD. Khi đó, ta có:

∠FBC = ∠DAB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (BDC))
∠BCF = ∠ADB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (BDC))

Vì ∠FBC = ∠DAB và ∠BCF = ∠ADB, nên hai tam giác FBC và DAB là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

FC/AD = BC/AB
FC = (BC/AB) * AD

Vậy ta có:

DF = (FM/FC) * BE = (FM/((BC/AB) * AD)) * BE = (AB/BC) * (FM/AD) * BE

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AB = CD và BC = AD. Khi đó, ta có:

DF = (AB/BC) * (FM/AD) * BE = (CD/AD) * (FM/AD) * BE = (CD/AD) * (FM/AD) * AD = (CD/AD) * FM

Vì CD = AD, nên ta có:

DF = FM

Do đó, ta có DF = 2FM.

3) Ta có tứ giác BEDF là hình bình hành (theo câu 1). Vì tứ giác BEDF là hình bình hành, nên ta có DE song song với BF. Khi đó, ta có:

∠BFI = ∠DEJ (cùng chắn cung EJ trên đường tròn (ABD))
∠BIF = ∠EDJ (cùng chắn cung EJ trên đường tròn (ABD))

Vì ∠BFI = ∠DEJ và ∠BIF = ∠EDJ, nên hai tam giác BFI và DEJ là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

BF/DE = IF/EJ
BF = (IF/EJ) * DE

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có DC song song với AB. Khi đó, ta có:

∠BFA = ∠DCE (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ABD))
∠BAF = ∠DEC (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ABD))

Vì ∠BFA = ∠DCE và ∠BAF = ∠DEC, nên hai tam giác BFA và DCE là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

BF/DC = AF/CE
BF = (AF/CE) * DC

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/CE) * DC

Vì AE = EF = FC, nên ta có CE = AE = FC. Khi đó, ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/FC) * DC

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có DC = AB. Khi đó, ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/FC) * DC = (AF/FC) * AB

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/FC) * AB

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AB = CD. Khi đó, ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/FC) * AB = (AF/FC) * CD

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AC là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có AO = OC. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có AO = OE = OF = OC. Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/FC) * CD = (AF/OC) * CD

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BD là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có BO = OD. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có BO = OE = OF = OD. Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/OC) * CD = (AF/OD) * CD

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AD song song với BC. Khi đó, ta có:

∠AFD = ∠CDB (cùng chắn cung AB trên đường tròn (BDC))
∠ADF = ∠CBD (cùng chắn cung AB trên đường tròn (BDC))

Vì ∠AFD = ∠CDB và ∠ADF = ∠CBD, nên hai tam giác AFD và CDB là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

AF/CD = FD/BC
AF = (FD/BC) * CD

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/OD) * CD = ((FD/BC) * CD)/OD = (FD/BC) * (CD/OD)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BC = AD. Khi đó, ta có:

(IF/EJ) * DE = (AF/OD) * CD = ((FD/BC) * CD)/OD = (FD/BC) * (CD/OD) = (FD/AD) * (CD/OD)

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (FD/AD) * (CD/OD)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AD = BC. Khi đó, ta có:

(IF/EJ) * DE = (FD/AD) * (CD/OD) = (FD/AD) * (CD/OD) = (FD/AD) * (CD/AD)

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = (FD/AD) * (CD/OD) = (FD/AD) * (CD/AD) = FD/OD

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BD là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có BO = OD. Khi đó, ta có:

∠FOD = ∠BOD (cùng chắn cung BD trên đường tròn (ACD))
∠OFD = ∠BDO (cùng chắn cung BD trên đường tròn (ACD))

Vì ∠FOD = ∠BOD và ∠OFD = ∠BDO, nên hai tam giác FOD và BOD là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

FD/OD = BD/BO
FD = (BD/BO) * OD

Vì BD = BO, nên ta có:

FD = (BD/BO) * OD = (BD/BD) * OD = OD

Vậy ta có:

(IF/EJ) * DE = FD/OD = OD/OD = 1

Vì (IF/EJ) * DE = 1, nên ta có IF/EJ = 1/DE. Khi đó, ta có:

IF = (1/DE) * EJ = EJ/DE

Vậy ta có IF = EJ/DE.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AC là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có AO = OC. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có AO = OE = OF = OC. Vậy ta có:

IF = EJ/DE = EJ/(AE + EF) = EJ/(AO + OF) = EJ/(OC + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BD là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có BO = OD. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có BO = OE = OF = OD. Vậy ta có:

IF = EJ/(OC + OF) = EJ/(BO + OF) = EJ/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AD song song với BC. Khi đó, ta có:

∠AFO = ∠CDO (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))
∠AOF = ∠COD (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))

Vì ∠AFO = ∠CDO và ∠AOF = ∠COD, nên hai tam giác AFO và CDO là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

AF/CD = FO/DO
AF = (FO/DO) * CD

Vậy ta có:

IF = EJ/(OD + OF) = EJ/(BO + OF) = EJ/(OD + OF) = (FO/DO) * CD/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BC = AD. Khi đó, ta có:

IF = EJ/(OD + OF) = EJ/(BO + OF) = EJ/(OD + OF) = (FO/DO) * CD/(OD + OF) = (FO/BC) * CD/(OD + OF)

Vậy ta có:

IF = (FO/BC) * CD/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có CD = AB. Khi đó, ta có:

IF = (FO/BC) * CD/(OD + OF) = (FO/BC) * AB/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AC là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có AO = OC. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có AO = OE = OF = OC. Vậy ta có:

IF = (FO/BC) * AB/(OD + OF) = (FO/BC) * AB/(OC + OF) = (FO/BC) * AB/(AO + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BD là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có BO = OD. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có BO = OE = OF = OD. Vậy ta có:

IF = (FO/BC) * AB/(AO + OF) = (FO/BC) * AB/(BO + OF) = (FO/BC) * AB/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AD song song với BC. Khi đó, ta có:

∠AFO = ∠CDO (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))
∠AOF = ∠COD (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))

Vì ∠AFO = ∠CDO và ∠AOF = ∠COD, nên hai tam giác AFO và CDO là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

AF/CD = FO/DO
AF = (FO/DO) * CD

Vậy ta có:

IF = (FO/BC) * AB/(OD + OF) = (FO/BC) * AB/(OD + OF) = (FO/DO) * CD/(OD + OF)

Vì FO = AF, nên ta có:

IF = (FO/BC) * AB/(OD + OF) = (AF/BC) * CD/(OD + OF)

Vì AF/BC = FD/AD (theo câu 2), nên ta có:

IF = (AF/BC) * CD/(OD + OF) = (FD/AD) * CD/(OD + OF)

Vì FD = DF (theo câu 2), nên ta có:

IF = (FD/AD) * CD/(OD + OF) = (DF/AD) * CD/(OD + OF)

Vì DF = OD (theo câu 2), nên ta có:

IF = (DF/AD) * CD/(OD + OF) = (OD/AD) * CD/(OD + OF)

Vì OD = AD, nên ta có:

IF = (DF/AD) * CD/(OD + OF) = (OD/AD) * CD/(OD + OF) = 1 * CD/(OD + OF) = CD/(OD + OF)

Vậy ta có IF = CD/(OD + OF).

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AC là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có AO = OC. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có AO = OE = OF = OC. Vậy ta có:

IF = CD/(OD + OF) = CD/(OC + OF) = CD/(AO + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có BD là đường chéo của hình bình hành. Do đó, ta có BO = OD. Kết hợp với AE = EF = FC, ta có BO = OE = OF = OD. Vậy ta có:

IF = CD/(AO + OF) = CD/(BO + OF) = CD/(OD + OF)

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành, nên ta có AD song song với BC. Khi đó, ta có:

∠AFO = ∠CDO (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))
∠AOF = ∠COD (cùng chắn cung AC trên đường tròn (ACD))

Vì ∠AFO = ∠CDO và ∠AOF = ∠COD, nên hai tam giác AFO và CDO là hai tam giác đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có:

AF/CD = FO/DO
AF = (FO/DO) * CD

Vậy ta có:

IF = CD/(OD + OF) = CD/(BO + OF) = CD/(OD + OF) = (FO/DO) * CD/(OD + OF)

Vì FO = AF, nên ta có:

IF = CD/(OD + OF) = CD/(BO + OF) = CD/(OD + OF) = (FO/DO) * CD/(OD + OF) = (AF/DO) * CD/(OD + OF)

Vì AF/DO = DF/OD (theo câu 2), nên ta có:

IF = (AF/DO) * CD/(OD + OF) = (DF/OD) * CD/(OD + OF)

Vì DF = OD (theo câu 2), nên ta có:

IF =