Cho đường tròn (O;R). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (B,C alf các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC. Kẻ đường kính BD của (O).Vẽ CK vuông góc với BD

a) Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên AB ⊥ OA và AC ⊥ OA.
- BC là đường phân giác của góc BAC, nên BH ⊥ AB và CH ⊥ AC.
- H là trung điểm của BC, nên BH = HC.
- K là giao điểm của CK và BD, nên CK ⊥ BD và CK = KD.
- Ta cần chứng minh AC.CD = KC.AO.

Ta có:
- Trong tam giác ABC, ta có BH ⊥ AB và BH = HC, nên tam giác BHC là tam giác vuông cân tại H.
- Vì BH ⊥ AB và CK ⊥ BD, nên BH || CK.
- Vì BH = HC và CK = KD, nên tam giác BHC và tam giác CKD là hai tam giác đồng dạng.
- Vậy, ta có BH/CK = HC/KD.
- Ta có AB ⊥ OA và CK ⊥ BD, nên AB || CK.
- Vậy, ta có AB/CK = OA/BD.
- Từ hai tỉ số trên, ta có BH/CK = HC/KD = AB/CK = OA/BD.
- Từ đó, ta có BH.HC = CK.KD = AB.CK = OA.BD.
- Ta có AB ⊥ OA và CK ⊥ BD, nên AB || CK.
- Vậy, ta có AB.CK = OA.BD = AC.CD.
- Từ đó, ta có AC.CD = KC.AO.

Vậy, ta đã chứng minh được AC.CD = KC.AO.

b) Ta cần chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên AB ⊥ OA và AC ⊥ OA.
- BC là đường phân giác của góc BAC, nên BH ⊥ AB và CH ⊥ AC.
- H là trung điểm của BC, nên BH = HC.
- K là giao điểm của CK và BD, nên CK ⊥ BD và CK = KD.
- E là giao điểm của AC và BD, nên AE ⊥ AC và AE = EC.
- Ta cần chứng minh M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có:
- Vì AB ⊥ OA và AE ⊥ AC, nên AB || AE.
- Vì BH ⊥ AB và AE ⊥ AC, nên BH || AE.
- Vậy, tam giác BHA và tam giác AHE là hai tam giác đồng dạng.
- Từ đó, ta có BH/AE = HA/HE.
- Ta có BH = HC và AE = EC, nên BH/AE = HC/EC.
- Vậy, ta có HC/EC = HA/HE.
- Từ hai tỉ số trên, ta có HC.HA = EC.HE.
- Ta có AB ⊥ OA và CK ⊥ BD, nên AB || CK.
- Vậy, ta có AB.CK = OA.BD.
- Từ đó, ta có AB.CK = OA.BD = AC.CD.
- Ta có AB.CK = AC.CD, nên AB/AC = CD/CK.
- Ta có AB/AC = BD/CD, nên CD/CK = BD/CD.
- Từ đó, ta có CD.CD = CK.BD.
- Ta có CD = CK + KD, nên (CK + KD)^2 = CK.BD.
- Mở ngoặc và rút gọn, ta có CK^2 + 2CK.KD + KD^2 = CK.BD.
- Ta có CK = KD, nên CK^2 + 2CK.KD + KD^2 = CK.BD.
- Từ đó, ta có CK^2 + 2CK^2 + CK^2 = CK.BD.
- Rút gọn, ta có 4CK^2 = CK.BD.
- Ta có CK ≠ 0, nên 4CK = BD.
- Từ đó, ta có CK = BD/4.
- Vậy, ta có CD = CK + KD = BD/4 + BD/4 = BD/2.
- Ta có CD = BD/2, nên CD = BD/2.
- Vậy, ta có CD = KC.AO.

Vậy, ta đã chứng minh được M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.