Để chứng minh các phần a), b), c), d), ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác đều và các định lý về trung điểm.

a) Ta cần chứng minh tam giác AOB đều. Để làm điều này, ta sẽ chứng minh tứ giác AOMD là hình bình hành.

Vì tam giác MAC là tam giác đều, nên MA = MC. Tương tự, tam giác MBD là tam giác đều, nên MB = MD. Vì M nằm giữa A và B, nên AM = MB và DM = MC.

Do đó, tứ giác AOMD là hình bình hành với đường chéo AO và MD cắt nhau tại trung điểm của chúng.

Vì tứ giác AOMD là hình bình hành, nên AO = MD. Tương tự, ta có OB = MC.

Vậy, tam giác AOB có cạnh bằng nhau và góc AOB bằng 60 độ, nên tam giác AOB là tam giác đều.

b) Ta cần chứng minh MC = OD và MD = OC.

Vì tam giác MAC là tam giác đều, nên MA = MC. Tương tự, tam giác MBD là tam giác đều, nên MB = MD.

Vì M nằm giữa A và B, nên AM = MB và DM = MC.

Do đó, ta có MC = DM và OC = OD.

c) Ta cần chứng minh AD = BC.

Vì I là trung điểm của AD, nên AI = ID. Tương tự, K là trung điểm của BC, nên BK = KC.

Vì M nằm giữa A và B, nên AM = MB và DM = MC.

Do đó, ta có AM + MC = MB + DM.

Từ đó, suy ra AD = BC.

d) Ta cần chứng minh tam giác MIK là tam giác đều.

Vì I là trung điểm của AD và K là trung điểm của BC, nên AI = ID và BK = KC.

Vì tam giác AOB là tam giác đều, nên góc AOB = 60 độ.

Vì tứ giác AOMD là hình bình hành, nên góc AOD = góc MOD = 180 - góc AOM = 180 - 60 = 120 độ.

Vì tứ giác BOMC là hình bình hành, nên góc BOC = góc MOC = 180 - góc MBC = 180 - 60 = 120 độ.

Vì góc AOD = góc BOC = 120 độ, nên góc AOB = 360 - góc AOD - góc BOC = 360 - 120 - 120 = 120 độ.

Vì góc AOB = 120 độ, nên tam giác MIK có góc MIK = 180 - góc AOB = 180 - 120 = 60 độ.

Vậy, tam giác MIK là tam giác đều.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần a), b), c), d).