Cho tam giác ABD vuông tại A có AB < AD

a) Ta có M là trung điểm của BD và AC, suy ra AC // BD. Vì tam giác ABD vuông tại A nên AB vuông góc với BD. Do đó, AB // CD. Từ đó suy ra ABCD là hình chữ nhật.

b) Ta có M là trung điểm của AC và DE, suy ra AC // DE. Vì DA = DE nên tam giác DAE cân tại D. Gọi I là trung điểm của CD, suy ra AI song song với DE. Do đó, tam giác AIE cân tại I. Vì M là trung điểm của AC nên AM = MC. Khi đó, ta có AI = IM. Vậy, IB = IE.

c) Gọi AH là đường cao của tam giác ABD. Ta có AH vuông góc với BD và AB vuông góc với BD, suy ra AH // AB. Vì M là trung điểm của BD và AC nên AM = MC. Khi đó, ta có AH = HC. Gọi K là trung điểm của AK, suy ra HK // BD và HK = 1/2 AH = 1/2 HC. Vậy, BDCK là hình thang cân.