Để chứng minh các điều cần thiết cho bài toán, chúng ta sẽ lần lượt xử lý các phần a), b), c), và d).

### a) Chứng minh DE || BC

**Giả thiết:** AM là trung tuyến của tam giác ABC, tức là \( M \) là trung điểm của \( BC \). Các đường phân giác \( AD \) và \( AE \) cắt \( AB \) và \( AC \) lần lượt tại \( D \) và \( E \).

**Chứng minh:**
- Do \( AM \) là trung tuyến nên \( BM = MC \).
- Theo định lý đường phân giác: \( \frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \) và \( \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} \).
- Có \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) do \( M \) là trung điểm của \( BC \) (giả thiết) và theo tính chất của trung tuyến trong tam giác.
- Từ đó, ta có:
\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \Rightarrow \text{(tính chất đồng dạng của tam giác)}
\]
Điều này cho ta rằng hai tam giác \( ADE \) và \( MBC \) đồng dạng:
\[
\triangle ADE \sim \triangle MBC \Rightarrow DE \parallel BC
\]

### b) Chứng minh DI = IE

**Gọi:** \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( DE \).

**Chứng minh:**
- Từ \( DE \parallel BC \) (đã chứng minh ở phần a), ta có:
- \( \frac{AI}{IM} = \frac{AD}{DB} \)
- \( \frac{AI}{IM} = \frac{AE}{EC} \)
- Vì \( D \) và \( E \) lần lượt là các điểm trên \( AB \) và \( AC \) phân chia đoạn thẳng \( AM \) thành các đoạn tỉ lệ:
- Do đó, ta có:
\[
\frac{DI}{IE} = \frac{AD}{DB} + \frac{AE}{EC}
\]
Từ hai tỉ số trên, suy ra:
\(
DI = IE
\)

### c) Tính DE biết BC = 30 cm, AM = 10 cm.

**Áp dụng tỉ lệ từ trung tuyến:**
- Từ \( AM \) là trung tuyến, \( BC = 30 \) cm, theo định lý liên quan tới trung tuyến:
\[
DE = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \text{ cm}
\]

### d) Tam giác ABC phải thêm điều kiện gì để DE = AM?

Để \( DE = AM \), ta cần:
- \( DE \) là một nửa \( BC \).
- Vậy, theo định lý trong tam giác có đường phân giác, điều kiện là \( AD = AE \).

**Kết luận:** Tam giác ABC là tam giác đều hoặc có tính chất đối xứng phù hợp để thực hiện đoạn phân giác trong tam giác dẫn đến cùng giá trị với chiều dài của AM. Cụ thể, cần có điều kiện vi phân giác \( D \) và \( E \) chia đều các cạnh để \( DE = 10 \).

**Tóm tắt:**
- DE || BC.
- DI = IE.
- DE = 15 cm.
- Điều kiện cần thiết là tam giác đều hoặc hai góc tương ứng tạo thành các tiệm cận này, tức là \( \angle BAD = \angle CAE \).