Cho tam giác ABC vuông tại A

a/ Ta có AG = AE + EG = AB/2 + BC/2 = 5/2 + 12/2 = 11/2 cm.

b/ Để chứng minh BEFG là hình bình hành, ta cần chứng minh BE = FG và EF = BG.
Vì E là trung điểm của AB nên BE = AE = AB/2 = 5/2 cm.
Vì G là trung điểm của BC nên BG = GC = BC/2 = 12/2 = 6 cm.
Vì F là trung điểm của AC nên EF = AF = AC/2 = 12/2 = 6 cm.
Vậy ta có BE = FG và EF = BG, suy ra BEFG là hình bình hành.

c/ AEGF là hình chữ nhật vì AE = FG và EF = AG.

d/ Ta có EF // BF (do EF và BF cùng song song với AC) và EF cắt GF tại I.
Theo định lí Thales, ta có AG/GB = AE/EF.
Vì AE = AB/2 = 5/2 cm và EF = AC/2 = 12/2 = 6 cm, nên AG/GB = 5/2 / 6 = 5/12.
Vậy ta có AG = 5/12 * GB.

e/ Để chứng minh AGCI là hình thoi, ta cần chứng minh AG = CI và AI = CG.
Vì AE = AB/2 = 5/2 cm và EF = AC/2 = 12/2 = 6 cm, nên AG = 5/12 * GB.
Vì G là trung điểm của BC nên CG = BG = BC/2 = 12/2 = 6 cm.
Vì I là trung điểm của GF nên CI = GI = GF/2 = EF/2 = 6/2 = 3 cm.
Vậy ta có AG = CI và AI = CG, suy ra AGCI là hình thoi.

f/ Để AGCI là hình vuông, ta cần chứng minh AG = CI và AG vuông góc với AI.
Vì AG = 5/12 * GB và CI = 3 cm, nên để AG = CI ta cần GB = 12/5 * 3 = 36/5 cm.
Vì AG vuông góc với AI, nên ta cần chứng minh AG^2 + AI^2 = GI^2.
Vì AG = 5/12 * GB và AI = CG = 6 cm, nên AG^2 + AI^2 = (5/12 * GB)^2 + 6^2 = GB^2/12 + 36 = GB^2/12 + 432/12 = (GB^2 + 432)/12.
Vì GI = GF/2 = EF/2 = 6/2 = 3 cm, nên GI^2 = 3^2 = 9.
Để AG^2 + AI^2 = GI^2, ta cần GB^2 + 432 = 9 * 12 = 108.
Vậy ta có GB^2 = 108 - 432 = -324, nhưng không có số thực nào bình phương bằng -324.
Vậy không có điều kiện nào để AGCI là hình vuông.

g/ Để ABGI là hình thang cân, ta cần chứng minh AB = GI và AG // BI.
Vì AB = 5 cm và GI = GF/2 = EF/2 = 6/2 = 3 cm, nên để AB = GI ta cần chứng minh AB = 3.
Vì AG = 5/12 * GB và BI = GF = EF = 6 cm, nên để AG // BI ta cần chứng minh GB = 12/5 * 6 = 72/5 cm.
Vậy ta có AB = 5 cm và GB = 72/5 cm, suy ra ABGI là hình thang cân.

h/ Để chứng minh A là trung điểm IK, ta cần chứng minh AI = AK và IK // BG.
Vì AI = CG = 6 cm và AK = 2 * AG = 2 * (5/12 * GB) = 5/6 * GB, nên để AI = AK ta cần chứng minh GB = 6 * 6/5 = 36/5 cm.
Vì IK // BG, ta cần chứng minh GB = 12/5 * 6 = 72/5 cm.
Vậy ta có GB = 36/5 cm, suy ra A là trung điểm IK.