Cho tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Từ M kẻ MD, ME lần lượt vuông góc với AB, AC, kẻ AH vuông góc với BC. Chứng minh DHME là hình thang cân

Để chứng minh CM DHME là hình thang cân, ta cần chứng minh các đẳng thức sau:

1. CM = ME: Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AM là trung tuyến, do đó AM = MB. Mà tam giác MBE vuông tại M, nên theo định lí Pythagoras, ta có ME² = MB² + BE². Vì AM = MB, nên ME² = AM² + BE². Nhưng AM² = AC² (do tam giác ABC vuông tại A), nên ME² = AC² + BE². Tương tự, ta có CM² = AC² + BC². Do đó, ME² = CM² + BE². Vì BE² = BC² (do tam giác ABC vuông tại A), nên ME² = CM² + BC². Từ đó, ta suy ra ME = CM.

2. DH = ME: Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên AM là trung tuyến, do đó AM = MC. Mà tam giác MCD vuông tại M, nên theo định lí Pythagoras, ta có MD² = MC² + CD². Vì MC = AM, nên MD² = AM² + CD². Nhưng AM² = AC² (do tam giác ABC vuông tại A), nên MD² = AC² + CD². Tương tự, ta có DH² = AC² + BH². Do đó, MD² = DH² + BH². Vì BH² = CD² (do tam giác ABC vuông tại A), nên MD² = DH² + CD². Từ đó, ta suy ra DH = MD.

Vậy ta đã chứng minh được CM = ME và DH = ME, từ đó suy ra CM DHME là hình thang cân.