Chứng minh rằng với mọi x, ta có:

Để chứng minh các bất đẳng thức trên, ta sẽ sử dụng phương pháp đồ thị hóa.

1. Chứng minh C = -x² - 2x - 3 < 0:
Đồ thị của hàm số C là một đường parabol hướng xuống. Ta cần tìm điểm cắt của đồ thị với trục hoành. Để đồ thị cắt trục hoành, ta giải phương trình -x² - 2x - 3 = 0. Ta có:
-x² - 2x - 3 = 0
⇒ x² + 2x + 3 = 0
⇒ (x + 1)(x + 3) = 0
⇒ x = -1 hoặc x = -3

Đồ thị của hàm số C cắt trục hoành tại hai điểm x = -1 và x = -3. Ta thấy rằng đồ thị nằm dưới trục hoành giữa hai điểm này. Vì vậy, C = -x² - 2x - 3 < 0 với mọi x.

2. Chứng minh D = -x² - x - 2 < 0:
Đồ thị của hàm số D cũng là một đường parabol hướng xuống. Ta cần tìm điểm cắt của đồ thị với trục hoành. Để đồ thị cắt trục hoành, ta giải phương trình -x² - x - 2 = 0. Ta có:
-x² - x - 2 = 0
⇒ x² + x + 2 = 0

Phương trình trên không có nghiệm thực. Vì vậy, đồ thị của hàm số D không cắt trục hoành. Ta thấy rằng đồ thị nằm dưới trục hoành. Vì vậy, D = -x² - x - 2 < 0 với mọi x.

3. Chứng minh E = -4x² - 6x - 8 < 0:
Đồ thị của hàm số E cũng là một đường parabol hướng xuống. Ta cần tìm điểm cắt của đồ thị với trục hoành. Để đồ thị cắt trục hoành, ta giải phương trình -4x² - 6x - 8 = 0. Ta có:
-4x² - 6x - 8 = 0
⇒ 2x² + 3x + 4 = 0

Phương trình trên không có nghiệm thực. Vì vậy, đồ thị của hàm số E không cắt trục hoành. Ta thấy rằng đồ thị nằm dưới trục hoành. Vì vậy, E = -4x² - 6x - 8 < 0 với mọi x.

4. Chứng minh L = -1/3x² + 2x - 5 < 0:
Đồ thị của hàm số L cũng là một đường parabol hướng xuống. Ta cần tìm điểm cắt của đồ thị với trục hoành. Để đồ thị cắt trục hoành, ta giải phương trình -1/3x² + 2x - 5 = 0. Ta có:
-1/3x² + 2x - 5 = 0
⇒ x² - 6x + 15 = 0

Phương trình trên không có nghiệm thực. Vì vậy, đồ thị của hàm số L không cắt trục hoành. Ta thấy rằng đồ thị nằm dưới trục hoành. Vì vậy, L = -1/3x² + 2x - 5 < 0 với mọi x.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng C = -x² - 2x - 3 < 0, D = -x² - x - 2 < 0, E = -4x² - 6x - 8 < 0 và L = -1/3x² + 2x - 5 < 0 với mọi x.