Chứng minh rằng Các số n(n+1) và n(n+2) không thể là SCP với mọi n ∈ N*

Để chứng minh rằng các số n(n+1) và n(n+2) không thể là SCP (số chính phương) với mọi n ∈ N*, ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử tồn tại một số n ∈ N* sao cho n(n+1) và n(n+2) là SCP. Điều này có nghĩa là tồn tại một số k ∈ N sao cho:

n(n+1) = k^2 (1)
n(n+2) = k^2 (2)

Từ (1), ta có thể suy ra rằng n là một ước số của k^2. Tương tự, từ (2), ta cũng có thể suy ra rằng n+2 cũng là một ước số của k^2.

Vì n và n+2 là hai số liên tiếp, nên chúng không thể cùng là ước số của k^2. Điều này chỉ có thể xảy ra nếu n = 1 và n+2 = k^2 hoặc n = k^2 và n+2 = 1. Tuy nhiên, cả hai trường hợp này đều không thỏa mãn vì không tồn tại số nguyên k sao cho k^2 + 2 = 1 hoặc 1 + 2 = k^2.

Vì vậy, giả định ban đầu là sai và ta kết luận rằng không tồn tại số n ∈ N* sao cho n(n+1) và n(n+2) là SCP với mọi n ∈ N*.