Cho p, q là các số nguyên tố lớn hơn 3 thỏa mãn p - q = 2. Chứng minh rằng p + q chia hết cho 12

Để chứng minh rằng p + q chia hết cho 12, ta sẽ chứng minh rằng p và q cùng chia hết cho 3 và không chia hết cho 4.

Vì p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng không chia hết cho 2. Do đó, p và q cùng chia hết cho 3.

Giả sử p chia hết cho 4. Khi đó, p có thể được viết dưới dạng p = 4k, với k là một số nguyên. Thay vào phương trình p - q = 2, ta có 4k - q = 2, hay q = 4k - 2 = 2(2k - 1). Điều này cho thấy q chia hết cho 2, điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vì vậy, p không chia hết cho 4.

Tương tự, giả sử q chia hết cho 4. Khi đó, q có thể được viết dưới dạng q = 4m, với m là một số nguyên. Thay vào phương trình p - q = 2, ta có p - 4m = 2, hay p = 4m + 2 = 2(2m + 1). Điều này cho thấy p chia hết cho 2, điều mâu thuẫn với giả thiết ban đầu. Vì vậy, q không chia hết cho 4.

Từ đó, suy ra p và q đều không chia hết cho 4.

Vậy, p và q cùng chia hết cho 3 và không chia hết cho 4. Do đó, p + q chia hết cho 3 và không chia hết cho 4. Từ đó, suy ra p + q chia hết cho 12.