Cho tam giác MNP có độ dài ba cạnh MN=3cm; MP = 4cm; NP = 5cm và đường cao MH

Để tìm vị trí điểm M để EF đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm vị trí của M sao cho đường cao MH càng dài càng tốt.

Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP. Ta biết rằng đường cao MH chia đôi đoạn NG và cung cấp một tỉ lệ 2:1. Vì vậy, ta cần tìm vị trí của M sao cho độ dài đoạn NG càng dài càng tốt.

Đặt x = NG, y = GM và z = NM. Ta có:

x + y = z (1) (theo định nghĩa trọng tâm)
x^2 + y^2 = 4/9z^2 (2) (theo định lý Pythagoras)

Từ (1), ta có y = z - x. Thay vào (2), ta có:

x^2 + (z - x)^2 = 4/9z^2
x^2 + z^2 - 2xz + x^2 = 4/9z^2
2x^2 - 2xz + z^2 - 4/9z^2 = 0
18x^2 - 18xz + 9z^2 - 4z^2 = 0
18x^2 - 18xz + 5z^2 = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo x. Để tìm giá trị lớn nhất của x, ta cần tìm giá trị của x khi đạo hàm của phương trình này bằng 0.

Đạo hàm của phương trình trên theo x là:

36x - 18z = 0
x = z/2

Thay x = z/2 vào phương trình (1), ta có:

z/2 + y = z
y = z/2

Vậy, EF đạt giá trị lớn nhất khi M nằm ở trung điểm của NP.