Vẽ đường tròn (B), bán kính BA. Tia AH cắt đường tròn (B) tại D. Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)

1) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
BC^2 = AB^2 + AC^2
BC^2 = 15^2 + 20^2
BC^2 = 225 + 400
BC^2 = 625
BC = √625
BC = 25 cm

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Do đó, AH = AB = 15 cm.

2) Vẽ đường tròn (B) với bán kính BA. Tia AH cắt đường tròn (B) tại D. Ta cần chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).

Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AH là đường cao của tam giác. Do đó, AD là đường cao của tam giác ABD. Khi đó, ta có:
BD^2 = AB^2 - AD^2
BD^2 = 15^2 - AH^2
BD^2 = 225 - 225
BD^2 = 0
BD = 0

Vậy, D trùng với B, nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (B).

3) Tia AB cắt đường tròn (B) tại E và cắt đường thẳng CD tại F. Từ E kẻ đường thẳng song song với AC, đường thẳng này cắt CF tại G. Ta cần chứng minh GD.FC = FG.CD.

Vì CD là tiếp tuyến của đường tròn (B), nên theo định lý tiếp tuyến và tiếp điểm ngoại tiếp, ta có:
GD.FC = CD^2

Vì đường thẳng EF song song với AC, nên theo định lý Euclid, ta có:
FG/FC = AE/AC

Từ đó, ta có:
GD.FC = FG.CD
CD^2 = FG.CD
CD = FG

Vậy, GD.FC = FG.CD.