Để chứng minh rằng (x^n-1)(x^(n+1)-1) chia hết cho (x+1)(x-1)^2, ta cần chứng minh rằng phép chia có thể thực hiện.

Ta có thể viết (x^n-1)(x^(n+1)-1) dưới dạng:

(x^n-1)(x^(n+1)-1) = (x^n-1)(x^n.x-1) = (x^n-1)(x^(n+1)-x^n)

Ta có thể viết (x+1)(x-1)^2 dưới dạng:

(x+1)(x-1)^2 = (x+1)(x^2-2x+1) = (x+1)(x^2-2x+1)

Để chứng minh rằng (x^n-1)(x^(n+1)-1) chia hết cho (x+1)(x-1)^2, ta cần chứng minh rằng (x^n-1)(x^(n+1)-x^n) chia hết cho (x+1)(x-1)^2.

Ta sẽ chứng minh bằng cách sử dụng định lý chia hết Euclid.

Đặt f(x) = (x^n-1)(x^(n+1)-x^n) và g(x) = (x+1)(x-1)^2.

Ta cần chứng minh rằng f(x) chia hết cho g(x), hay f(x) chia hết cho (x+1)(x-1)^2.

Ta sẽ chứng minh rằng f(x) chia hết cho x+1 và x-1.

Đầu tiên, ta chứng minh rằng f(x) chia hết cho x+1.

Ta có f(-1) = (-1^n-1)(-1^(n+1)-(-1)^n) = (-1-1)(-1-1) = 0.

Vì f(-1) = 0, nên f(x) chia hết cho x+1.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng f(x) chia hết cho x-1.

Ta có f(1) = (1^n-1)(1^(n+1)-1^n) = (1-1)(1-1) = 0.

Vì f(1) = 0, nên f(x) chia hết cho x-1.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng f(x) chia hết cho cả x+1 và x-1.

Theo định lý chia hết Euclid, ta có f(x) chia hết cho (x+1)(x-1)^2.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng (x^n-1)(x^(n+1)-1) chia hết cho (x+1)(x-1)^2.