Chứng minh rằng tổng S < 0,2

Để chứng minh rằng tổng S < 0,2, ta cần chứng minh rằng S < 0,2 - 1/2^2022.

Ta có thể viết lại tổng S như sau:
S = (1/2^2 - 1/2^4) + (1/2^6 - 1/2^8) + ... + (1/2^4n-2 - 1/2^4n) + ... + (1/2^2018 - 1/2^2020)

Ta thấy mỗi cặp số trong dấu ngoặc đơn (1/2^2 - 1/2^4), (1/2^6 - 1/2^8), ... có thể viết lại thành một phân số đơn giản:
1/2^2 - 1/2^4 = 1/4 - 1/16 = 3/16
1/2^6 - 1/2^8 = 1/64 - 1/256 = 15/1024
...
1/2^4n-2 - 1/2^4n = 1/2^(4n-2) - 1/2^(4n) = (2^(4n) - 2^(4n-2))/(2^(4n) * 2^(4n-2)) = (2^(4n-2) - 1)/(2^(8n-2))

Vậy tổng S có thể viết lại thành:
S = (3/16) + (15/1024) + ... + [(2^(4n-2) - 1)/(2^(8n-2))] + ... + (1/2^2018 - 1/2^2020)

Ta thấy rằng mỗi phân số trong tổng S đều nhỏ hơn 1/16, vì:
(2^(4n-2) - 1)/(2^(8n-2)) < 2^(4n-2)/(2^(8n-2)) = 1/16

Vậy tổng S nhỏ hơn:
S < (3/16) + (15/1024) + ... + (1/16) + (1/2^2018 - 1/2^2020)

Tổng các phân số ở giữa là một dãy hình học cộng cấp số nhân với công bội là 1/16. Ta có công thức tổng của dãy hình học cộng cấp số nhân:
S = a/(1 - r)

Trong đó, a là phần tử đầu tiên của dãy (3/16), r là công bội (1/16).

Áp dụng công thức tổng của dãy hình học cộng cấp số nhân, ta có:
S < (3/16)/(1 - 1/16) + (1/16)/(1 - 1/16)

S < (3/16)/(15/16) + (1/16)/(15/16)

S < (3/16) * (16/15) + (1/16) * (16/15)

S < 3/15 + 1/15

S < 4/15

Vậy ta có S < 4/15 < 0,2.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tổng S < 0,2.