Để tính tổng \( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 8} + \ldots + \frac{1}{98 \cdot 100} \), chúng ta nhận thấy rằng các phần tử trong tổng có thể được viết lại như sau:

Mỗi phần tử có dạng:
\[
\frac{1}{(2n)(2n + 2)} = \frac{1}{2n(2n + 2)} = \frac{1}{2(2n)} - \frac{1}{2(2n + 2)}
\]

Chúng ta có thể thấy rằng
\[
\frac{1}{2(2n)} - \frac{1}{2(2n + 2)} = \frac{1}{4n} - \frac{1}{4(n + 1)}
\]

Bây giờ, để mục đích tính toán tổng S, chúng ta sẽ viết lại các phần tử một cách rõ ràng hơn. Tổng \( S \) có thể được viết thành một chuỗi tổng:
\[
S = \sum_{n=1}^{49} \left( \frac{1}{2(2n)} - \frac{1}{2(2n + 2)} \right)
\]

Điều này cho thấy rằng chuỗi này là một chuỗi tách biệt. Bây giờ, chúng ta có thể tính từ \( n=1 \) đến \( n=49 \):

Khi thay giá trị konkrát cho \( n \):
\[
S = \left( \frac{1}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 100} \right) + \left( \frac{1}{2 \cdot 4} - \frac{1}{2 \cdot 102} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2 \cdot 98} - \frac{1}{2 \cdot 200} \right)
\]

Chúng ta thấy rằng hầu hết các phần tử sẽ hủy nhau lại. Chỉ còn lại:
\[
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 100}
\]
Tính tổng:
\[
S = \frac{1}{2} - \frac{1}{200} = \frac{100 - 1}{200} = \frac{99}{200}
\]

Vậy tổng \( S \) là:
\[
S = \frac{99}{200}
\]