a) Ta có AB = 2BC và E là trung điểm của AB nên AE = EB = BC. Do đó, tam giác ABE là tam giác đều. Tương tự, tam giác CDF cũng là tam giác đều. Vì AE = BC = DF nên tứ giác ADFE là hình thoi.

b) Ta có AB = 2BC và F là trung điểm của CD nên CF = FD = BC. Vì tứ giác ADFE là hình thoi nên AE = DF. Khi đó, ta có:

AE = DF = BC
CF = FD = BC

Do đó, tam giác CFB và tam giác AED là tam giác cân. Vì AB // CD nên góc AED = góc CFB. Từ đó, ta có:

góc AED + góc CFB = 180°
góc AED + góc AED = 180°
2góc AED = 180°
góc AED = 90°

Vậy, EC vuông góc với BF.

c) Để tứ giác EMFN là hình vuông, ta cần có các điều kiện sau:
- EM = MF
- EN = NF
- góc MEN = 90°

Ta có:
- EM = MF nếu và chỉ nếu AM = MF. Vì tứ giác ADFE là hình thoi nên AM là đường phân giác của góc ADF. Do đó, ta cần có góc ADF = góc EDF.
- EN = NF nếu và chỉ nếu BN = NF. Vì tứ giác ADFE là hình thoi nên BN là đường phân giác của góc BDF. Do đó, ta cần có góc BDF = góc EDF.
- góc MEN = 90° nếu và chỉ nếu góc MEF = góc NEF = 45°.

Từ các điều kiện trên, ta có:
- góc ADF = góc EDF
- góc BDF = góc EDF
- góc MEF = góc NEF = 45°

Vậy, để tứ giác EMFN là hình vuông, ta cần có các góc ADF, BDF và góc MEF bằng nhau.