Để xác định xem S có chia hết cho 13 hay không, ta cần tìm một quy tắc để tính tổng S một cách đơn giản.

Ta thấy rằng S có dạng: S = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^2023.

Ta nhận thấy rằng S có dạng một dãy số hình thành từ cấp số nhân với công bội là 3. Ta có công thức tổng của cấp số nhân: Sn = a * (r^n - 1) / (r - 1), trong đó a là số hạng đầu tiên, r là công bội, n là số lượng số hạng.

Áp dụng công thức trên vào S, ta có: S = 3^0 + 3^1 + 3^2 + ... + 3^2023 = (3^2024 - 1) / (3 - 1).

Để xác định xem S có chia hết cho 13 hay không, ta cần xem xét phần dư của S khi chia cho 13.

Ta có: S mod 13 = [(3^2024 - 1) / (3 - 1)] mod 13.

Áp dụng định lý Fermat nhỏ, ta biết rằng: a^(p-1) ≡ 1 (mod p), trong đó a là số nguyên không chia hết cho p, p là số nguyên tố.

Với a = 3 và p = 13, ta có: 3^12 ≡ 1 (mod 13).

Áp dụng định lý trên vào S mod 13, ta có: S mod 13 = [(3^2024 - 1) / (3 - 1)] mod 13 = [(3^12)^168 - 1] mod 13.

Do 3^12 ≡ 1 (mod 13), ta có: S mod 13 = (1^168 - 1) mod 13 = 0 mod 13.

Vậy S chia hết cho 13.