Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (b lớn hơn 3). Hỏi p + 4 là số nguyên tố hay hợp số?

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng một số kiến thức về số nguyên tố.

Điều kiện cho p và p + 2 là số nguyên tố là: p và p + 2 đều không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào nhỏ hơn chúng.

Giả sử p + 4 là hợp số. Điều đó có nghĩa là p + 4 chia hết cho một số nguyên tố p' (p' < p + 4). Ta có thể viết p + 4 dưới dạng p + 4 = p' * k, với k là một số nguyên dương.

Khi đó, ta có p = p' * k - 4. Vì p' < p + 4, nên p' ≤ p + 3. Từ đó, ta có:

p' * k - 4 ≤ p + 3
p' * k ≤ p + 7

Vì p' là số nguyên tố nhỏ hơn p + 4, nên p' không chia hết cho p + 4. Do đó, p' không chia hết cho k. Khi đó, ta có k ≤ p + 7.

Từ các điều kiện trên, ta có thể thử tất cả các giá trị của k từ 1 đến p + 7 để kiểm tra xem có tồn tại p và p + 2 là số nguyên tố thỏa mãn p + 4 là hợp số hay không.

Ví dụ, nếu b = 5, ta có các giá trị của p là 2 và 3. Khi đó, p + 2 = 5 và p + 4 = 6 không phải là số nguyên tố.

Tuy nhiên, nếu b = 7, ta có các giá trị của p là 3 và 5. Khi đó, p + 2 = 7 và p + 4 = 9 là hợp số.

Từ ví dụ trên, ta có thể thấy rằng p + 4 không phải lúc nào cũng là số nguyên tố.