Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần:

### a) Chứng minh tam giác AIC = tam giác DIB và AC // BD

1. **Xét tam giác AIC và tam giác DIB**:
- Ta có \( I \) là trung điểm của \( BC \), do đó \( BI = IC \).
- Theo giả thuyết, \( ID = IA \) (từ việc lấy điểm \( D \) trên tia đối của tia \( IA \)).
- Gọi \( \theta = \angle AIB \) và \( \theta' = \angle DIB \).
- Vì \( D \) nằm trên tia đối của \( IA \), nên có \( \angle DIB = 180^\circ - \angle AIB = 180^\circ - \theta \).

Từ đó, ta có:
- \( \angle AIC = \angle AIB = \theta \)
- \( \angle DIB = 180^\circ - \angle AIB = 180^\circ - \theta \)
- \( BI = IC \) và \( ID = IA \)

Do đó, \( \triangle AIC \cong \triangle DIB \) (cạnh - góc - cạnh).

2. **Chứng minh AC // BD**:
Từ sự đồng dạng trên, ta có \( \angle AIC = \angle DIB \). Nhưng cũng có \( \angle AIC + \angle DIB = 180^\circ \), từ đó suy ra rằng:
- \( \angle AIC + \angle AIB = 180^\circ \) tức là \( AC // BD \).

### b) Chứng minh AH // DK và AH = DK

1. **Gọi \( H \) và \( K \)**:
- \( H \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( AH \perp BC \).
- \( K \) là điểm trên \( BC \) sao cho \( DK \perp BC \).

2. **Chứng minh \( AH // DK \)**:
- Vì \( AH \perp BC \) và \( DK \perp BC \), nghĩa là cả hai đoạn thẳng này tạo với \( BC \) những góc vuông nên chúng đồng song song với nhau.

3. **Chứng minh \( AH = DK \)**:
- Ta đã chứng minh tam giác \( AIC \) và \( DIB \) đồng dạng. Do đó, tương ứng với các cạnh \( AI \) và \( DI \), ta có tỉ số:
- \( \frac{AH}{DK} = \frac{AI}{DI} \) và vì \( AI = DI \) (do \( ID = IA \)), suy ra \( AH = DK \).

### c) Chứng minh M, I, N thẳng hàng

1. **Điểm giao nhau**:
- Gọi \( M \) là điểm giao của \( AH \) và \( BD \).
- Gọi \( N \) là điểm giao của \( DK \) và \( AC \).

2. **Chứng minh thẳng hàng**:
- Chúng ta có \( \triangle AIC \cong \triangle DIB \) cho thấy \( AC \) phải hợp với \( BI \) những góc như nhau và tương tự cho \( AC \) với \( DK \).
- Gọi đường thẳng \( IN \) cắt đường thẳng \( AH \) tại \( M \). Bởi vì \( AH // DK \) và \( M \) thuộc đường thẳng \( AH \), do đó \( IJ \) sẽ cắt đường \( AC \) tại một điểm nằm giữa \( N \) và \( I \).
- Từ đó, với các tính chất vừa nói và vận dụng bổ đề trung điểm cho thấy \( M, I, N \) thẳng hàng.

Kết luận:
- Chúng ta đã chứng minh được tất cả các yêu cầu của bài toán.