Cho điểm M thuộc miền trong của tứ giác lồi ABCD. Gọi A', B', C', D' lần lượt là điểm đối xứng của M qua trung điểm các cạnh AN, BC, CD, DA. Chứng minh tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác A'B'C'D' là hình bình hành, ta cần chứng minh các cạnh của tứ giác này bằng nhau và các đường chéo của nó cắt nhau ở trung điểm.

Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Ta cần chứng minh A'B' = C'D' và B'C' = D'A'.

Ta có:
A'B' = 2IJ (vì A' là điểm đối xứng của M qua trung điểm AB)
C'D' = 2KL (vì C' là điểm đối xứng của M qua trung điểm CD)

Vì IJ = KL (vì I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA), nên A'B' = C'D'.

Tương tự, ta có:
B'C' = 2JK (vì B' là điểm đối xứng của M qua trung điểm BC)
D'A' = 2LI (vì D' là điểm đối xứng của M qua trung điểm DA)

Vì JK = LI (vì I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA), nên B'C' = D'A'.

Vậy ta đã chứng minh được A'B'C'D' là hình bình hành.