Giải phương trình lượng giác

Để giải phương trình lượng giác 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Sử dụng công thức lượng giác sin2x = 2sinxcosx, ta có:
2sinx(1+cos2x) + sin2x = 1 + 2cosx
2sinx(1+2cos^2x - 1) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
2sinx(2cos^2x) + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
4sinxcos^2x + 2sinxcosx = 1 + 2cosx

2. Đặt t = cosx, ta có:
4sinxcos^2x + 2sinxcosx = 1 + 2cosx
4sint^2 + 2sint = 1 + 2t

3. Đưa tất cả các thành phần chứa t về một phía của phương trình:
4sint^2 + 2sint - 2t + 1 = 0

4. Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức giải phương trình bậc hai:
t = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Áp dụng vào phương trình trên, ta có:
t = (-2 ± √(2^2 - 4(4)(1)))/(2(4))
t = (-2 ± √(4 - 16))/8
t = (-2 ± √(-12))/8
t = (-2 ± 2√3i)/8
t = (-1 ± √3i)/4

5. Đặt t = cosx, ta có:
cosx = (-1 ± √3i)/4

6. Giải phương trình trên để tìm các giá trị của x:
x = arccos((-1 ± √3i)/4) + 2πk hoặc x = -arccos((-1 ± √3i)/4) + 2πk, với k là số nguyên.

Vậy, phương trình có các nghiệm là x = arccos((-1 ± √3i)/4) + 2πk hoặc x = -arccos((-1 ± √3i)/4) + 2πk, với k là số nguyên.