Cho ∆ABC nhọn có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua B và C kẻ các đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng EF tại M và N

Ta có:
- Góc MDF = góc MDA + góc ADF
- Góc NDE = góc NDC + góc CDE
Vì BM // AD, nên góc MDA = góc ADB (do cùng chắn cung AD trên đường tròn (ABC))
Vì CN // AD, nên góc NDC = góc ADC (do cùng chắn cung AD trên đường tròn (ABC))
Vậy góc MDF = góc ADB + góc ADF và góc NDE = góc ADC + góc CDE
Ta cần chứng minh góc ADB + góc ADF = góc ADC + góc CDE
Ta có:
- Góc ADB = góc AHB (do ABHD là hình chữ nhật)
- Góc ADF = góc AHF (do AFHE là hình chữ nhật)
- Góc ADC = góc AHC (do AHCD là hình chữ nhật)
- Góc CDE = góc CHE (do CHDE là hình chữ nhật)
Vậy ta cần chứng minh góc AHB + góc AHF = góc AHC + góc CHE
Ta có:
- Góc AHB + góc AHF = góc BHF (do góc trong của tam giác ABH)
- Góc AHC + góc CHE = góc CHF (do góc trong của tam giác AHC)
Vậy ta cần chứng minh góc BHF = góc CHF
Ta có:
- Góc BHF = góc BHE + góc EHF
- Góc CHF = góc CHD + góc DHF
Vì HE // AD, nên góc BHE = góc ADB (do cùng chắn cung AD trên đường tròn (ABC))
Vì HD // AD, nên góc CHD = góc ADC (do cùng chắn cung AD trên đường tròn (ABC))
Vậy góc BHF = góc ADB + góc EHF và góc CHF = góc ADC + góc DHF
Ta cần chứng minh góc ADB + góc EHF = góc ADC + góc DHF
Ta có:
- Góc ADB + góc EHF = góc ADF (do góc ngoài của tam giác ADF)
- Góc ADC + góc DHF = góc DCF (do góc ngoài của tam giác DCF)
Vậy ta cần chứng minh góc ADF = góc DCF
Ta có:
- Góc ADF = góc ACF (do AD // CF)
- Góc DCF = góc ACF (do AD // CF)
Vậy góc ADF = góc DCF
Vậy ta đã chứng minh được góc MDF = góc NDE.