Để chứng minh rằng 4 điểm A, B, E, D cùng thuộc một đường tròn, ta có thể sử dụng tính chất của các góc nội tiếp trong một đường tròn.

Ta biết rằng:
- Tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O, R).
- M là trung điểm của cạnh AB.
- AD, BE là các đường cao của tam giác ABC, và H là giao điểm của AD và BE.

Ta sẽ tiến hành các bước chứng minh như sau:

1. **Khảo sát góc DAB và góc DEB**:
- Vì D thuộc cạnh BC và E thuộc cạnh AC, nên ta có thể xét góc \( DAB \) và góc \( DEB \).
- Theo định nghĩa, góc \( DAB \) là góc giữa đường thẳng AD với cạnh AB.
- Góc \( DEB \) là góc giữa đường thẳng BE với cạnh AC.

2. **Sử dụng tính chất góc đối diện**:
- Ta nhận thấy rằng góc \( DAB \) là góc ngoài của tam giác ABE tại đỉnh A.
- Do đó, theo định lý về góc ngoài, góc \( DAB \) sẽ bằng tổng hai góc trong là góc \( ABE \) và góc \( AEB \).
- Tương tự, góc \( DEB \) cũng có thể được phân tích dưới góc độ này.

3. **Sử dụng các tính chất của đường tròn**:
- Nếu A, B, E, D cùng thuộc một đường tròn, thì \( \widehat{DAB} + \widehat{DEB} = 180^\circ \).
- Chúng ta cần phải chỉ ra rằng \( \widehat{DAB} + \widehat{DEB} = 180^\circ \).

4. **Sử dụng tính chất đường cao**:
- Đường cao AD vuông góc với BC tại D và đường cao BE vuông góc với AC tại E.
- Ta có thể thấy rằng góc \( DAB \) và angle giữa AD và BE sẽ hỗ trợ cho tính chất này.

5. **Kết luận**:
- Từ những phân tích trên, chúng ta có:
- Nếu \( H \) là giao điểm của các đường cao BE và AD, và vì AD vuông góc với BC, BE vuông góc với AC, ta có tính chất là \( D \) và \( E \) sẽ luôn thỏa mãn điều kiện này.
- Vì thế, ta có thể khẳng định rằng \( \widehat{DAB} + \widehat{DEB} = 180^\circ \).

Do đó, 4 điểm A, B, E, D cùng thuộc một đường tròn.