Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC  ), đường cao BH CK, cắt nhau tại E. Đường thẳng vuông góc với AB tại B và đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Chứng minh: Tứ giác BDCE là hình gì? Vì sao?

1) a) Tứ giác BDCE là hình chữ nhật.
Chứng minh: Ta có BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH vuông góc với AC. Tương tự, CK vuông góc với AB.
Vì vậy, BD là đường cao của tam giác BAC, nên BD vuông góc với AC. Tương tự, CE vuông góc với AB.
Do đó, tứ giác BDCE có 4 góc vuông, tức là hình chữ nhật.

b) Gọi M là trung điểm của BC.
Chứng minh: Ta cần chứng minh E, M, D thẳng hàng.
Vì M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
Vì BDCE là hình chữ nhật, nên BD = CE.
Vì BD vuông góc với AC và CE vuông góc với AB, nên BD // CE.
Do đó, tứ giác BDMC là hình bình hành.
Vì BM = MC và BD // CE, nên BM // CE.
Vậy, ta có tứ giác BEMC là hình bình hành.
Do đó, E, M, D thẳng hàng.

2) Chứng minh tứ giác BCDI là hình thang cân.
Ta cần chứng minh BC // DI và BD = CI.
Vì BDCE là hình chữ nhật, nên BD // CE.
Vì BM // CE (vì BEMC là hình bình hành), nên BM // BD.
Vậy, ta có BC // DI.
Vì E, M, D thẳng hàng (theo câu 1b), nên BM = MD.
Vì BEMC là hình bình hành, nên BM = CE.
Vậy, ta có BD = CI.
Do đó, tứ giác BCDI là hình thang cân.