Để chứng minh rằng 1 + 4 + 4^2 + 4^3 +.... +4^2021 chia hết cho 21, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Trong trường hợp này, chúng ta có p = 7 và a = 4. Vì 4 không chia hết cho 7, theo định lý Fermat nhỏ, ta có:

4^(7-1) - 1 chia hết cho 7.

Tương đương với:

4^6 - 1 chia hết cho 7.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng 4^6 - 1 chia hết cho 21.

Ta có:

4^6 - 1 = (4^3)^2 - 1 = (4^3 - 1)(4^3 + 1).

Chúng ta có thể thấy rằng 4^3 - 1 = 63 chia hết cho 21, vì 63 = 3 * 21.

Vì vậy, ta có:

4^6 - 1 = (4^3 - 1)(4^3 + 1) chia hết cho 21.

Do đó, ta có thể kết luận rằng 1 + 4 + 4^2 + 4^3 +.... +4^2021 chia hết cho 21.