Để chứng minh A chia hết cho 3, ta sử dụng định lý cộng các số mũ của cùng một số. Theo định lý này, ta có:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60 = (2^61 - 1)/(2 - 1) = 2^61 - 1

Ta biết rằng 2^61 - 1 chia hết cho 3, vì 2^61 - 1 = (2^3)^20 * 2 - 1 = (8^20) * 2 - 1 = 3k + 1 - 1 = 3k, với k là một số nguyên.

Vậy A chia hết cho 3.

Để chứng minh A chia hết cho 7, ta sử dụng định lý cộng các số mũ của cùng một số. Theo định lý này, ta có:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60 = (2^61 - 1)/(2 - 1) = 2^61 - 1

Ta biết rằng 2^61 - 1 chia hết cho 7, vì 2^61 - 1 = (2^6)^10 * 2 + 2^6 - 1 = (64^10) * 2 + 64 - 1 = 7k + 64 - 1 = 7k + 63 = 7(k + 9), với k là một số nguyên.

Vậy A chia hết cho 7.

Để chứng minh A chia hết cho 31, ta sử dụng định lý cộng các số mũ của cùng một số. Theo định lý này, ta có:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60 = (2^61 - 1)/(2 - 1) = 2^61 - 1

Ta biết rằng 2^61 - 1 chia hết cho 31, vì 2^61 - 1 = (2^5)^12 * 2 + 2^5 - 1 = (32^12) * 2 + 32 - 1 = 31k + 32 - 1 = 31k + 31 = 31(k + 1), với k là một số nguyên.

Vậy A chia hết cho 31.

Để chứng minh A chia hết cho 15, ta sử dụng định lý cộng các số mũ của cùng một số. Theo định lý này, ta có:

1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^60 = (2^61 - 1)/(2 - 1) = 2^61 - 1

Ta biết rằng 2^61 - 1 chia hết cho 15, vì 2^61 - 1 = (2^4)^15 * 2 + 2^4 - 1 = (16^15) * 2 + 16 - 1 = 15k + 16 - 1 = 15k + 15 = 15(k + 1), với k là một số nguyên.

Vậy A chia hết cho 15.