a) Tứ giác ADME là hình chữ nhật. Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên AM = MB = MC. Mà MD vuông góc AB và ME vuông góc AC, nên MD = ME. Do đó, ta có AM = MD = ME, tứ giác ADME có 4 cạnh bằng nhau và có 2 góc vuông, nên là hình chữ nhật.

b) Ta có AH là đường cao của tam giác ABC, nên AH vuông góc với BC. Gọi O là giao điểm của AC và HB. Ta có AO là đường cao của tam giác ABC, nên AO vuông góc với BC. Mà HI = HA và HK = HB, nên ta có IO = IA và IO = IB. Do đó, tam giác AIO và BIK là tam giác cân. Vì IO = IA = IB và góc AIO = góc BIK (do là góc nội tiếp cùng nhìn), nên ta có AIOB là hình bình hành.

Vì AIOB là hình bình hành, nên góc AIB = góc AOB = 180° - góc BAC (do là góc ngoại tiếp cùng nhìn). Mà góc AIB và góc BAC là góc đối của nhau, nên góc AIB + góc BAC = 180°. Từ đó suy ra góc BAC = 90°.

Vì góc BAC = 90°, nên tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Mà AK là đường cao của tam giác ABC, nên AK vuông góc với BC. Từ đó suy ra AK vuông góc IC.

Vậy ABIK là hình bình hành và AK vuông góc IC.