1) Ta có BH là đường cao của tam giác ABC, nên AH ⊥ BC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên AH là đường phân giác của góc BAC. Mà góc BAH = góc CAH (vì tam giác ABC cân), nên góc BAH = góc CAH = α.

Vì AK ⊥ BC và AH ⊥ BC, nên AK // AH. Do đó, góc AKH = góc BAH = α.

Từ đó, ta có góc AKH = góc BAH = α, và góc AKH = α. Vậy tam giác AKH cân.

2) Ta đã chứng minh được tam giác AKH cân. Vì BH là đường cao của tam giác ABC, nên BH ⊥ AC. Tương tự, CK ⊥ AB.

Vì tam giác AKH cân, nên AH ⊥ KH. Mà BH ⊥ AC, nên BH ⊥ KH. Tương tự, CK ⊥ KH.

Từ đó, ta có BH ⊥ KH và CK ⊥ KH. Vậy tứ giác BHCK cân.

3) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Ta cần chứng minh AI là đoạn trung trực của đoạn BC.

Vì BH ⊥ AC và CK ⊥ AB, nên góc BHC = góc BAC và góc BKC = góc BAC.

Vì tam giác ABC cân tại A, nên góc BAC = góc BCA.

Từ đó, ta có góc BHC = góc BAC = góc BCA = góc BKC.

Vậy tứ giác BHCK là tứ giác nội tiếp.

Vì tứ giác BHCK là tứ giác nội tiếp, nên góc BIC = 180° - góc BHC = 180° - góc BKC.

Nhưng góc BIC = góc BAI + góc CAI = góc BAI + góc BAC = góc BAI + góc BCA = góc BAI + góc BKC.

Do đó, góc BAI = góc BKC.

Vậy AI là đoạn trung trực của đoạn BC.