Trên bảng viết 99 số: 2, 6, 12, …, 9900, mỗi số là tích hai số tự nhiên liên tiếp (n(n + 1)) với (n = 1, 2, …, 99). Thực hiện phép biến đổi sau đây: mỗi lần cho phép xóa đi hai số tùy ý (x, y) và thay bởi một số (z = \frac{xy}{x+y}). Giả sử sau một số hữu hạn lần thực hiện phép biến đổi nói trên, trên bảng chỉ còn đúng một số (c). Tìm (c)?

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tính toán số hữu hạn lần biến đổi:

   • Bắt đầu với các số (2, 6, 12, …, 9900).
   • Mỗi lần chọn hai số (x, y) và thay bằng (z = \frac{xy}{x+y}).
   • Tiếp tục thực hiện cho đến khi trên bảng chỉ còn đúng một số.

2. Tìm công thức tổng quát cho phép biến đổi:

   • Ta thấy rằng (z = \frac{xy}{x+y}) có thể viết lại thành (z = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}).
   • Điều này giống với công thức tính trung bình điều hoà của hai số (x) và (y).

3. Áp dụng công thức tổng quát:

   • Ta có: (z = \frac{1}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{xy}{x+y}).
   • Vậy sau mỗi lần biến đổi, tổng của hai số (x) và (y) không thay đổi.

4. Tính tổng của tất cả các số ban đầu:

   • Tổng của các số ban đầu là: (2 + 6 + 12 + … + 9900 = 99 \cdot 100).

5. Tìm số còn lại sau hữu hạn lần biến đổi:

   • Vì tổng của hai số (x) và (y) không thay đổi, số còn lại sau hữu hạn lần biến đổi là tổng của tất cả các số ban đầu.
   • Vậy (c = 99 \cdot 100 = 9900).

Số còn lại trên bảng sau hữu hạn lần biến đổi là 9900