Ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} \frac{xy}{ay} + \frac{bx}{yz} = \frac{yx}{bz} + \frac{cy}{zx} = \frac{zx}{cx} + \frac{az}{xy} = \frac{x^2 + y^2 + z^2}{a^2 + b^2 + c^2} \\ xy(a^2 + b^2 + c^2) = ay^2 + bxy + y^2z \\ yx(a^2 + b^2 + c^2) = bzx + cy^2 + y^2z \\ zx(a^2 + b^2 + c^2) = cxz + az^2 + zx^2 \end{cases}\]
Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[xy(a^2 + b^2 + c^2) = ay^2 + bxy + y^2z \quad (1)\]
Tương tự, từ phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:
\[yx(a^2 + b^2 + c^2) = bzx + cy^2 + y^2z \quad (2)\]
\[zx(a^2 + b^2 + c^2) = cxz + az^2 + zx^2 \quad (3)\]
Từ phương trình (1), ta có:
\[xy(a^2 + b^2 + c^2) - bxy - y^2z = ay^2 \quad (4)\]
Từ phương trình (2), ta có:
\[yx(a^2 + b^2 + c^2) - bzx - cy^2 = y^2z \quad (5)\]
Từ phương trình (3), ta có:
\[zx(a^2 + b^2 + c^2) - cxz - az^2 = zx^2 \quad (6)\]
Từ phương trình (4), ta có:
\[y(ax - by) = xy(a^2 + b^2 + c^2) - y^2z\]
\[y(ax - by) = ay^2 - y^2z\]
\[y(ax - by) = y(a - yz)\]
\[ax - by = a - yz\]
\[yz = by - ax + a \quad (7)\]
Từ phương trình (5), ta có:
\[y(yx - bz) = yx(a^2 + b^2 + c^2) - bzx\]
\[y(yx - bz) = bzx + cy^2 - bzx\]
\[y(yx - bz) = cy^2\]
\[yx - bz = cy \quad (8)\]
Từ phương trình (6), ta có:
\[z(zx - cx) = zx(a^2 + b^2 + c^2) - cxz\]
\[z(zx - cx) = cxz + az^2 - cxz\]
\[z(zx - cx) = az^2\]
\[zx - cx = az \quad (9)\]
Từ phương trình (7), (8), (9), ta có hệ phương trình:
\[\begin{cases} yz = by - ax + a \\ yx - bz = cy \\ zx - cx = az \end{cases}\]
Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[yz - by = -ax + a\]
\[y(z - b) = -ax + a\]
\[y = \frac{-ax + a}{z - b} \quad (10)\]
Từ phương trình thứ hai, ta có:
\[yx - bz = cy\]
\[\frac{-ax + a}{z - b} \cdot x - bz = c \cdot \frac{-ax + a}{z - b}\]
\[-ax + a - bz(z - b) = -acx + ac\]
\[-ax + a - bz^2 + b^2z = -acx + ac\]
\[-ax + acx = -bz^2 + b^2z - a + ac\]
\[x(-a + ac) = -bz^2 + b^2z - a + ac\]
\[x = \frac{-bz^2 + b^2z - a + ac}{-a + ac} \quad (11)\]
Từ phương trình thứ ba, ta có:
\[zx - cx = az\]
\[\frac{-bz^2 + b^2z - a + ac}{-a + ac} \cdot z - cz = az\]
\[-bz^2 + b^2z - a + ac - cz(-a + ac) = az(-a + ac)\]
\[-bz^2 + b^2z - a + ac + cz^2 - cz^2 + acz = -az^2 + a^2z - acz\]
\[-bz^2 + b^2z + cz^2 = -az^2 + a^2z\]
\[(b + c)z^2 + (a^2 - b^2)z = 0\]
\[(b + c)z(z + a - b) = 0\]
\[z = 0 \quad \text{hoặc} \quad z = b - a \quad (12)\]
- Trường hợp 1: z = 0
Thay z = 0 vào (10), ta có:
\[y = \frac{-ax + a}{-b} = \frac{ax - a}{b}\]
Thay z = 0 vào (11), ta có:
\[x = \frac{-a + ac}{-a + ac} = 1\]
Vậy ta có nghiệm (x, y, z) = (1, $\frac{ax - a}{b}$, 0), với mọi giá trị của a, b.
- Trường hợp 2: z = b - a
Thay z = b - a vào (10), ta có:
\[y = \frac{-ax + a}{b - (b - a)} = \frac{-ax + a}{a} = -x + 1\]
Thay z = b - a vào (11), ta có:
\[x = \frac{-b(b - a)^2 + b^2(b - a) - a + ac}{-a + ac} = \frac{-b(b - a)^2 + b^2(b - a) - a + ac}{-a + ac}\]
\[= \frac{-b(b^2 - 2ab + a^2) + b^2(b - a) - a + ac}{-a + ac} = \frac{-b^3 + 2ab^2 - a^2b + b^3 - b^2a - ab + ac}{-a + ac}\]
\[= \frac{ab^2 - a^2b - ab + ac}{-a + ac} = \frac{ab(b - a) - a(b - a)}{-a + ac}\]
\[= \frac{(b - a)(ab - a)}{-a + ac} = \frac{(a - b)(ab - a)}{a(c - 1)} = \frac{(b - a)(a - 1)}{a(c - 1)}\]
Vậy ta có nghiệm (x, y, z) = ($\frac{(b - a)(a - 1)}{a(c - 1)}$, -x + 1, b - a), với mọi giá trị của a, b, c.
Vậy các số thực x, y, z thỏa mãn đề bài là:
(x, y, z) = (1, $\frac{ax - a}{b}$, 0) hoặc (x, y, z) = ($\frac{(b - a)(a - 1)}{a(c - 1)}$, -x + 1, b - a), với mọi giá trị của a, b, c khác 0.