a) Ta có tam giác ABC vuông tại A, nên theo định lí đường cao, ta có AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có:

BD/BA = HD/HA (1) (vì tam giác ABD và tam giác AHD đồng dạng)
Và BH/BC = HA/HC (2) (vì tam giác ABH và tam giác ACH đồng dạng)

Từ (1) và (2), ta có:
BD/BA = HD/HA = BH/BC
Vậy BD/BA = BH/BC.

b) Ta có đường thẳng song song với DH qua O cắt BC tại F, gọi đường thẳng này là EF. Khi đó, ta có:

HD/HE = BD/BA (vì tam giác ABD và tam giác AHE đồng dạng)
Và BH/BC = HA/HC (vì tam giác ABH và tam giác ACH đồng dạng)

Từ đó, ta có:
HD/HE = BD/BA = BH/BC

Vậy HD = HE.

c) Gọi I là giao điểm của AH và CE. Ta có:

HD/HE = BD/BA (vì tam giác ABD và tam giác AHE đồng dạng)
Và BH/BC = HA/HC (vì tam giác ABH và tam giác ACH đồng dạng)

Từ đó, ta có:
HD/HE = BD/BA = BH/BC

Vậy BD/BA = BH/BC = HD/HE.

Vì BD/BA = BH/BC, nên ta có:
BD/BA = HD/HE

Vậy BI//AC (vì BI là đường chia tỷ lệ của đường cao AH trong tam giác ABC).

Đáp án:
a) BD/BA = BH/BC
b) HD = HE
c) BI//AC