Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần xác định giá trị của m sao cho hệ phương trình không có nghiệm hoặc có vô số nghiệm.

Đầu tiên, ta giải hệ phương trình ban đầu:
3x + my = m (1)
(m - 1)x + 2y = m - 1 (2)

Để giải hệ phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp đại số hoặc phương pháp đồ thị.

Sử dụng phương pháp đại số, ta có thể giải hệ phương trình bằng cách loại bỏ biến m.

Từ phương trình (1), ta có:
3x + my = m
=> my = m - 3x
=> y = (m - 3x)/m (3)

Thay y vào phương trình (2), ta có:
(m - 1)x + 2((m - 3x)/m) = m - 1
(m - 1)x + (2m - 6x)/m = m - 1
m(m - 1)x + 2m - 6x = m(m - 1) - m
m^2x - mx + 2m - 6x = m^2 - m - m
m^2x - mx - 6x + 2m = m^2 - 2m
m^2x - (m + 6)x + 2m = m^2 - 2m (4)

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, ta cần xác định giá trị của m sao cho phương trình (4) chỉ có một nghiệm duy nhất.

Để phương trình (4) chỉ có một nghiệm duy nhất, ta cần xác định giá trị của m sao cho hệ số của biến x bằng 0.

Ta có:
m^2 - (m + 6) = 0
m^2 - m - 6 = 0
(m - 3)(m + 2) = 0

Vậy, ta có hai giá trị của m là m = 3 và m = -2.

Để kiểm tra xem hệ phương trình có nghiệm duy nhất hay không, ta thay m = 3 vào hệ phương trình ban đầu:

3x + 3y = 3 (1')
2x + 2y = 2 (2')

Từ phương trình (2'), ta có:
2x = 2 - 2y
x = 1 - y

Thay x vào phương trình (1'), ta có:
3(1 - y) + 3y = 3
3 - 3y + 3y = 3
3 = 3

Phương trình trên đúng với mọi giá trị của y. Vậy, khi m = 3, hệ phương trình có vô số nghiệm.

Tiếp theo, ta thay m = -2 vào hệ phương trình ban đầu:

3x - 2y = -2 (1'')
-3x + 2y = -1 (2'')

Cộng hai phương trình (1'') và (2''), ta có:
3x - 2y + (-3x + 2y) = -2 + (-1)
0 = -3

Phương trình trên sai với mọi giá trị của x và y. Vậy, khi m = -2, hệ phương trình không có nghiệm.

Vậy, giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất là m = 3.