Giả sử ta có 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp là: x, x+2, x+4, x+6, x+8.

Ta có thể viết các số này dưới dạng: x = 2k+1, x+2 = 2k+3, x+4 = 2k+5, x+6 = 2k+7, x+8 = 2k+9 với k là một số tự nhiên.

Tổng của 5 số này là: S = (2k+1) + (2k+3) + (2k+5) + (2k+7) + (2k+9) = 10k + 25.

Ta cần chứng minh rằng tổng S chia 10 dư 5, tức là S ≡ 5 (mod 10).

Để chứng minh điều này, ta chia S cho 10 và xem phần dư:

S = 10k + 25 = 10k + 20 + 5 = 10k + 2(10) + 5 = 10(k+2) + 5.

Ta thấy rằng phần dư của S khi chia cho 10 là 5, vì vậy ta có S ≡ 5 (mod 10).

Vậy ta đã chứng minh được rằng tổng 5 số tự nhiên lẻ liên tiếp chia 10 dư 5.