Để chứng minh rằng biểu thức 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^2006 chia hết cho 126, ta sẽ sử dụng định lý Fermat nhỏ.

Định lý Fermat nhỏ: Nếu p là một số nguyên tố và a là một số nguyên không chia hết cho p, thì a^(p-1) - 1 chia hết cho p.

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ chứng minh rằng 5^126 - 1 chia hết cho 126.

Đầu tiên, chúng ta thấy rằng 5^3 - 1 = 124 chia hết cho 126, vì 124 = 2 * 63.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng 5^126 - 1 chia hết cho 124.

Ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau:

5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^2006 = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2005)

Chúng ta có thể thấy rằng 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2005 là một dãy hình học với công bội là 5 và số hạng đầu tiên là 1. Vậy, công thức tổng của dãy hình học này là:

S = (5^(2006) - 1) / (5 - 1) = (5^(2006) - 1) / 4

Chúng ta cần chứng minh rằng S chia hết cho 31 và 2.

Đầu tiên, chúng ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho 31.

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có:

5^30 - 1 chia hết cho 31

Từ đó, ta có:

(5^30 - 1) / 4 chia hết cho 31

Vậy, S chia hết cho 31.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng S chia hết cho 2.

Ta thấy rằng 5^2 - 1 = 24 chia hết cho 8.

Từ đó, ta có:

(5^2 - 1) / 4 chia hết cho 2

Vậy, S chia hết cho 2.

Vậy, S chia hết cho cả 31 và 2, tức là S chia hết cho 62.

Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh rằng S chia hết cho 126, không chỉ chia hết cho 62.

Ta có thể thấy rằng 5^126 - 1 = (5^63 - 1)(5^63 + 1) chia hết cho 126.

Vì 5^63 - 1 chia hết cho 31 và 5^63 + 1 chia hết cho 2, nên (5^63 - 1)(5^63 + 1) chia hết cho 31 * 2 = 62.

Vậy, S chia hết cho 62 và 126.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng biểu thức 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^2006 chia hết cho 126.