Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B)

Để chứng minh MN song song với BD, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc trong đường tròn và tam giác.

a) Ta có:
- Góc ADC là góc nội tiếp của đường tròn (O) nên góc ADC = góc ABC (1).
- Góc ACD là góc nội tiếp của đường tròn (O) nên góc ACD = góc ABD (2).
- Góc BCD là góc nội tiếp của đường tròn (O) nên góc BCD = góc BAD (3).

Từ (1), (2) và (3), ta có:
góc ADC + góc ACD + góc BCD = góc ABC + góc ABD + góc BAD
=> góc ADC + góc BCD = góc ABC + góc ABD + góc BAD
=> góc ADC + góc BCD = 180° (vì góc BAD + góc ABC = 180°)

Vậy ta có góc ADC và góc BCD là hai góc bù nhau, do đó MN song song với BD theo tính chất của các góc bù nhau.

b) Ta có:
- H là trung điểm của AM nên AH = HM.
- Góc HAM và góc HMA là hai góc bằng nhau (do cùng là góc vuông).
- Góc HAC và góc HCA là hai góc bằng nhau (do cùng là góc vuông).
- Góc HBC và góc HCB là hai góc bằng nhau (do cùng là góc vuông).

Từ các điều trên, ta có:
- Tam giác HAC và tam giác HBC có cạnh AC và BC bằng nhau (cùng là bán kính của đường tròn (O)).
- Tam giác HAC và tam giác HBC có góc HAC và góc HBC bằng nhau.
=> Hai tam giác HAC và HBC là hai tam giác đồng dạng.

Do đó, ta có:
AC/HC = BC/HC (vì hai tam giác đồng dạng)
=> AC = BC
=> C là trung điểm của AB.

Vậy ba điểm O, H, C thẳng hàng.