a) Ta có tam giác BEH đồng dạng với tam giác AFH, do đó tỉ số đồng dạng giữa chúng là:
$\frac{BE}{AF}=\frac{BH}{AH}$
Vì tam giác ABC vuông tại A nên $AH=AB\cos B$ và $BH=AB\sin B$, thay vào tỉ số đồng dạng ta có:
$\frac{BE}{AF}=\frac{\sin B}{\cos B}=\tan B$
Do đó $\angle BEH=\angle AFH=B$.
Gọi $\angle BAH=\alpha$ và $\angle EFH=\beta$, ta cần chứng minh $\alpha=\beta$.
Ta có $\angle BAH=\angle BEH+\angle HEA=\angle BEH+\angle HFA=\angle BEH+\angle AFH=B+\beta$.
Vậy $\alpha=B+\beta$, suy ra $\alpha-\beta=B$.
Do đó góc BAH bằng góc EFH.

b) Để diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần xác định vị trí của điểm E trên cạnh AB sao cho đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác có diện tích bằng nhau.
Gọi x là độ dài của AE. Khi đó, độ dài của EB là AB - x.
Diện tích tam giác ABC là $\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}AB\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}AB^2\sin C+\frac{1}{2}AB^2\cos C=\frac{1}{2}AB^2(\sin C+\cos C)$.
Diện tích của tam giác AHE là $\frac{1}{2}AH\cdot AE=\frac{1}{2}AB\cos B\cdot x=\frac{1}{2}AB^2\cos B\cdot \frac{x}{AB}=\frac{1}{2}AB^2\cos B\cdot \sin B$.
Diện tích của tam giác EHC là $\frac{1}{2}HC\cdot EB=\frac{1}{2}AB\sin B\cdot (AB-x)=\frac{1}{2}AB^2\sin B-\frac{1}{2}AB^2\sin B\cdot \frac{x}{AB}=\frac{1}{2}AB^2\sin B-\frac{1}{2}AB^2\sin B\cdot \cos B$.
Để diện tích tam giác HEF đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần có $\frac{1}{2}AB^2(\sin C+\cos C)=\frac{1}{2}AB^2\cos B\cdot \sin B+\frac{1}{2}AB^2\sin B-\frac{1}{2}AB^2\sin B\cdot \cos B$.
Simplifying this equation, we get $\sin C+\cos C=\cos B\cdot \sin B+\sin B-\sin B\cdot \cos B$.
Using the trigonometric identity $\sin C+\cos C=\sqrt{2}\sin\left(C+\frac{\pi}{4}\right)$ and $\cos B\cdot \sin B+\sin B-\sin B\cdot \cos B=\sin B+\cos B\sin B-\sin B\cos B=\sin B(1+\cos B)$, we have $\sqrt{2}\sin\left(C+\frac{\pi}{4}\right)=\sin B(1+\cos B)$.
Since $\sin\left(C+\frac{\pi}{4}\right)$ and $\sin B$ are both positive, we can square both sides of the equation to get $2\sin^2\left(C+\frac{\pi}{4}\right)=\sin^2 B(1+\cos B)^2$.
Using the trigonometric identity $\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}$, we can rewrite the equation as $1-\cos\left(2\left(C+\frac{\pi}{4}\right)\right)=\frac{1-\cos B}{2}(1+\cos B)^2$.
Simplifying this equation, we get $\cos\left(2\left(C+\frac{\pi}{4}\right)\right)=1-\frac{1-\cos B}{2}(1+\cos B)^2$.
Since $C+\frac{\pi}{4}$ and $B$ are acute angles, we have $2\left(C+\frac{\pi}{4}\right)<\pi$ and $0Therefore, the right-hand side of the equation is positive, which means the left-hand side must also be positive.
This implies that $2\left(C+\frac{\pi}{4}\right)<\pi$, which gives $C<\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$.
Since $C$ is an acute angle, we have $C<\frac{\pi}{4}$.
Therefore, the equation $\sqrt{2}\sin\left(C+\frac{\pi}{4}\right)=\sin B(1+\cos B)$ holds if and only if $C<\frac{\pi}{4}$.
In other words, the area of triangle $HEF$ is minimized when $C<\frac{\pi}{4}$.
This means that the point $E$ must be located on the side $AB$ such that $AETherefore, the point $E$ must be located on the segment $AB$ rather than on the extension of $AB$.