Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và Hy vuông góc AC tại Q

Để chứng minh các phần a, b, c, ta sẽ sử dụng các đẳng thức trong tam giác vuông và các đẳng thức về tỉ lệ đồng dạng.

a) Ta có: PH = PD (đề bài cho), AH = AH (cạnh chung), góc PHA = góc PHD (vuông góc), nên tam giác PHA đồng dạng với tam giác PHD (theo góc-góc-góc). Do đó, ta có:
PA/PH = PD/PH
PA = PD (vì PA = PH)

Tương tự, ta có:
QA = QE (vì QA = QH)

Vậy, ta có A là trung điểm của DE.

b) Ta có: PA = PD (đề bài cho), QA = QE (đề bài cho), góc PAQ = góc PDQ (cùng là góc vuông), nên tam giác PAQ đồng dạng với tam giác PDQ (theo góc-góc-góc). Do đó, ta có:
PQ/PA = DQ/PD
PQ = (DQ/PD) * PA
PQ = (DQ/PH) * PH (vì PA = PH)
PQ = (DQ/PH) * 2 * PH (vì PA = 2 * PH)
PQ = 2 * (DQ/PH) * PH
PQ = 2 * DQ (vì DQ/PH = 1)

Vậy, ta có PQ = 1/2 DE.

c) Ta có: PH = PD (đề bài cho), AH = AH (cạnh chung), góc PHA = góc PHD (vuông góc), nên tam giác PHA đồng dạng với tam giác PHD (theo góc-góc-góc). Do đó, ta có:
AH/PH = AH/PD
DQ/PH = AH/PD (vì DQ = AH)
DQ = (AH/PD) * PH
DQ = (AH/PH) * PD
DQ = 1 * PD (vì AH/PH = 1)

Vậy, ta có DQ = AH.

Như vậy, ta đã chứng minh được các phần a, b, c.