Để chứng minh các phần a), b), c), ta sẽ sử dụng các đẳng thức và tính chất của tam giác.

a) Ta có góc ABD = 90 độ và AB = BD, nên tam giác ABD là tam giác vuông cân tại B. Do đó, góc ADB = góc ABD = 45 độ.

Vì góc ADB = 45 độ và góc AHB = 90 độ (do AH là đường cao), nên góc IDB = góc ADB - góc AHB = 45 độ - 90 độ = -45 độ.

Vì góc IDB = -45 độ và góc HBA = 90 độ (do tam giác AHB là tam giác vuông tại B), nên góc IDB = góc HBA.

Do đó, tam giác IDB = tam giác HBA.

b) Ta có góc ACE = 90 độ và AC = CE, nên tam giác ACE là tam giác vuông cân tại C. Do đó, góc AEC = góc ACE = 45 độ.

Vì góc AEC = 45 độ và góc AHC = 90 độ (do AH là đường cao), nên góc KCE = góc AEC - góc AHC = 45 độ - 90 độ = -45 độ.

Vì góc KCE = -45 độ và góc HAC = 90 độ (do tam giác AHC là tam giác vuông tại C), nên góc KCE = góc HAC.

Do đó, tam giác HAC = tam giác KCE.

c) Ta có góc ADB = 45 độ và góc AEC = 45 độ.

Vì góc ADB = 45 độ và góc ABD = 45 độ (do tam giác ABD là tam giác vuông cân tại B), nên tam giác ABD là tam giác cân.

Vì góc AEC = 45 độ và góc ACE = 45 độ (do tam giác ACE là tam giác vuông cân tại C), nên tam giác ACE là tam giác cân.

Vì tam giác ABD là tam giác cân và tam giác ACE là tam giác cân, nên AB = BD và AC = CE.

Vì AB = BD và AC = CE, nên AB + AC = BD + CE.

Vì AB + AC = BD + CE và BD = CE (do tam giác ABD = tam giác ACE), nên AB + AC = 2BD.

Vì AB + AC = 2BD, nên AB + AC = 2BI (do I là trung điểm của BD).

Vì AB + AC = 2BI và AB = AC (do tam giác ABC là tam giác cân), nên 2AB = 2BI.

Vì 2AB = 2BI, nên AB = BI.

Vì AB = BI và AB = BD, nên BI = BD.

Vì BI = BD và tam giác BID là tam giác cân (do góc IDB = góc HBA), nên BI = CK (do tam giác BCK là tam giác cân).

Do đó, BI = CK.